[論文レビュー] Space-time fluctuation of the Kardar-Parisi-Zhang equation in $d\geq 3$ and the Gaussian free field

Francis Comets, Clément Cosco+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 29被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、空間次元 $d \geq 3$ におけるKardar-Parisi-Zhang (KPZ) 方程式の時空ゆらぎを、小規模な不純度強度 $\beta$ の下で研究する。適切なスケーリングを施した後、解の定常解まわりのゆらぎが、確定的熱方程式によって進化するガウス自由場に、有限次元分布において収束することを確立し、高次元における普遍的スケーリング行動を明らかにする。

ABSTRACT

We study the solution $h_\varepsilon$ of the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation for $d \geq 3$: $$ \frac{\partial}{\partial t} h_{\varepsilon} = \frac12 Δh_{\varepsilon} + \bigg[\frac12 | abla h_\varepsilon |^2 - C_\varepsilon\bigg]+ β\varepsilon^{\frac{d-2}2} ξ_{\varepsilon} $$ with $h_\varepsilon(0,x)=0$. Here $ξ_\varepsilon=ξ\star ϕ_\varepsilon$ is a spatially smoothened (at scale $\varepsilon$) Gaussian space-time white noise and $C_\varepsilon$ is a divergent constant as $\varepsilon o 0$. When the disorder $β$ is sufficiently small and $\varepsilon o 0$, $h_\varepsilon(t,x)- \mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}(t,x) o 0$ in probability where $\mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}(t,x)$ is the {\emph stationary solution} of the KPZ equation - more precisely, $\mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}$solves the above equation with a random initial condition (that is independent of the driving noise $ξ$) and its law is constant in $(\varepsilon,t,x)$. In the present article we quantify the rate of the above convergence in this regime and show that the fluctuation {\emph about} the stationary solution $$ (\varepsilon^{1-\frac d2} [h_\varepsilon(t,x) - \mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}(t,x)])_{x,t} $$ converges pointwise (with finite dimensional distributions in space and time) to a Gaussian free field (GFF) evolved by the deterministic heat equation. We also identify the fluctuations {\it of} the stationary solution itself and show that the rescaled averages $\int_{\mathbb R^d} {\mathrm d} x φ(x) \varepsilon^{1-\frac d2} [\mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}(t,x)- \mathbb E(\mathfrak h^{\mathrm{st}}_{\varepsilon}(t,x))]$ converge to that of the {\emph stationary solution} of the stochastic heat equation with additive noise, but with (random) {\emph GFF marginals} (instead of flat initial condition).

研究の動機と目的

• 空間次元 $d \geq 3$ におけるKPZ方程式の普遍的スケーリング行動を理解すること。このとき、空間時空白色ノイズのため、方程式は形式的には非適切である。
• 正規化スケール $\varepsilon \to 0$ の下で、解 $h_\varepsilon$ がその定常解 $\mathfrak{h}^{\mathrm{st}}_\varepsilon$ に収束するレートを定量化すること。
• 解の定常解まわりのゆらぎ場の極限を同定し、適切なスケーリングの下でガウス自由場に収束することを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、特異なノイズを取り扱うために発散する正規化定数 $C_\varepsilon$ を持つ、KPZ方程式の正規化されたバージョンを考察する。
• Cole-Hopf変換を用いて、KPZ方程式を乗法的ノイズを伴う確率的熱方程式と関連付ける。
• ゆらぎ場は、スケーリング $\varepsilon^{1 - d/2}[h_\varepsilon(t,x) - \mathfrak{h}^{\mathrm{st}}_\varepsilon(t,x)]$ を用いて分析され、ゆらぎのマクロな振る舞いを捉える。
• 正則性構造理論からの基準とモーメント評価を用いて、局所 Hölder 空間 $\mathcal{C}^\alpha_{\mathrm{loc}}$ における緊密性を確立する。
• 有限次元収束は、モーメント評価とガウス乱雑項展開を用いて、スケーリングされたゆらぎがガウス自由場に収束することを示すことにより証明される。
• 定常解のゆらぎは、加法的ノイズを伴う確率的熱方程式と、ガウス自由場のマージナルを持つものとして特定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 mollification スケール $\varepsilon \to 0$ の下で、$d \geq 3$ におけるKPZ方程式の時空ゆらぎはどのように振る舞うか？
• RQ2 定常解まわりのスケーリングされたゆらぎ $\varepsilon^{1 - d/2}[h_\varepsilon - \mathfrak{h}^{\mathrm{st}}_\varepsilon]$ の極限分布は何か？
• RQ3 $d \geq 3$ におけるKPZ方程式の定常解は、普遍的なゆらぎ統計を示すか？ もしそうなら、極限場は何か？

主な発見

• スケーリングされたゆらぎ $\varepsilon^{1 - d/2}[h_\varepsilon(t,x) - \mathfrak{h}^{\mathrm{st}}_\varepsilon(t,x)]$ は、有限次元分布において、確定的熱方程式によって進化するガウス自由場に収束する。
• 極限のガウス自由場は、ゆらぎ場のスケーリング極限として生じ、$d \geq 3$ の領域における普遍性を示している。
• 定常解 $\mathfrak{h}^{\mathrm{st}}_\varepsilon$ 自身のゆらぎは、加法的ノイズを伴う確率的熱方程式と、ガウス自由場に分布する確率的初期条件を持つものに収束する。
• 収束は、小規模な不純度強度 $\beta$ の下で成立し、解が極限においても適切に振る舞うことを保証する。
• 解析は、$p \in (1,2)$ に対して、スケーリングされたゆらぎ場の $L^p(\mathbb{P})$-有界性に依存しており、これは局所 Hölder 空間 $\mathcal{C}^\alpha_{\mathrm{loc}}$ における緊密性（$\alpha < -d/2$）を意味する。
• この結果は、高次元におけるKPZ方程式とガウス自由場との間の厳密な関係を確立し、$d=1$ における既知の結果を $d \geq 3$ に拡張する。