[論文レビュー] Spacelike spherically symmetric CMC hypersurfaces in Schwarzschild spacetimes (I): Construction

Kuo-Wei Lee, Yng-Ing Lee|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、シュバルツシルト時空とそのクリスティアン＝クルスカル座標による解析的拡張において、空間的で球対称な一定平均曲率（SS-CMC）超曲面を構成する。SS-CMC超曲面が事象の地平線 $ r = 2M $ を滑らかに接続できることを証明し、偏微分方程式理論を用いて $ C^2 $ の正則性を達成し、結果として $ C^∞ $ の滑らかさを保証する。また、クルスカル拡張におけるすべての完全な SS-CMC 超曲面を、領域 I, II, I', II' における特定の解から生じるものとして分類する。

ABSTRACT

We solve spacelike spherically symmetric constant mean curvature (SS-CMC) hypersurfaces in Schwarzschild spacetimes and analyze their asymptotic behavior near the coordinate singularity r = 2M. Furthermore, we join SS-CMC hypersurfaces in the Kruskal extension to obtain complete ones and discuss the smooth properties.

研究の動機と目的

• シュバルツシルト時空の外部および内部における空間的で球対称な一定平均曲率（SS-CMC）超曲面を構築すること。
• 座標特異点 $ r = 2M $ の近傍におけるそれらの漸近的挙動を分析すること。
• クルスカル拡張の領域 I と II（および I' と II'）からの SS-CMC 超曲面を組み合わせて、$ r=2M $ を超えて完全で滑らかな超曲面を形成すること。
• 一般相対性理論における非対称 CMC 問題のバリア関数として機能する明示的な幾何学的解を提供すること。

提案手法

• シュバルツシルト計量を $ T, X $ を用いてクルスカル座標でパrametrize し、$ r $ を $ (r - 2M)e^{r/2M} = X^2 - T^2 $ により暗黙的に定義する。
• クルスカル座標における SS-CMC 条件を導出し、$ V(U) $ に関する2階常微分方程式を得る。空間的条件として $ 1 - (F')^2 > 0 $ を満たす。
• 領域 I と I' における解 $ f_1(r), f_3(r) $ を構成し、$ r = 2M $ における導関数の一致を保証することで、$ d^2V/dU^2 $ の極限解析を用いて $ C^2 $ 正則性を確保する。
• $ F_1(2M) = -F_3(2M) $ であることに着目し、$ r = 2M $ を超えて滑らかに接合されることを保証し、標準的な偏微分方程式理論を適用して $ C^2 $ を $ C^∞ $ 滑らかさへと高める。
• 領域 I, II, I', II' における解の挙動を分析し、境界条件として空間無限遠、$ r = 0 $、または $ r = r_H $ における終端をとる場合に応じて、すべての完全な SS-CMC 超曲面を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュバルツシルト時空およびそのクルスカル拡張において、空間的で球対称な一定平均曲率（SS-CMC）超曲面はどのように構築できるか？
• RQ2 事象の地平線 $ r = 2M $ の近傍における SS-CMC 超曲面の漸近的挙動は何か？ そしてそれは滑らかさにどのように影響するか？
• RQ3 外部領域および内部領域からの SS-CMC 超曲面は、$ r = 2M $ を超えて結合され、完全で滑らかな超曲面を形成できるか？
• RQ4 完全で滑らかな SS-CMC 超曲面は、クルスカル拡張全体でどのように分類されるか？

主な発見

• 領域 I および I' における SS-CMC 超曲面は $ r = 2M $ を超えて $ C^2 $ である。2階微分の極限は $ F_1(2M) $ と $ F_3(2M) $ に依存し、$ F_1(2M) = -F_3(2M) $ の条件が滑らかな接合を保証する。
• 得られた超曲面は、標準的な偏微分方程式理論により $ C^∞ $ 滑らかである。クルスカル座標における SS-CMC 方程式の $ C^2 $ 解は、無限回微分可能であることを意味する。
• クルスカル拡張におけるすべての完全な SS-CMC 超曲面は、領域 I, II, I', II' における解から生じるものとして分類され、それぞれ空間無限遠、特異点 $ r = 0 $、または円柱面 $ r = r_H $ における終端を持つ。
• $ H > 0 $ の場合、1つの端が空間無限遠に、もう1つの端が $ r = 0 $ または $ r = r_H $ に位置する完全な SS-CMC 超曲面がパラメータに応じて存在する。
• $ H < 0 $ の場合、同様に完全な超曲面が存在し、$ f_2(r) $ または $ f_4(r) $ が $ (0, r_H) $ や $ (0, R_H) $ で定義される場合、領域 II や II' において2端を持つ超曲面が追加で得られる。
• 完全な SS-CMC 超曲面の集合は、定理1, 3, 5、補足10、および定理6で述べられる円柱型超曲面を含む。