[論文レビュー] Spaces of states of the two-dimensional O(n) and Potts models

Jesper Lykke Jacobsen, Sylvain Ribault+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2次元O(n)およびQ状態Potts模型の状態空間を、その全称対称性群O(n)およびS_Qの表現として、二つの独立した手法—ねじれたトーラスの分配関数と図式代数の分岐則—を用いて同定する。これらの表現をヤング図式およびチェビシェフ多項式の形で明示的な式で与え、四点関数に関するブートストラップ結果と整合することを確認し、一般のn, Q ∈ ℂにおける臨界CFTの正確な分解則を提示する。

ABSTRACT

We determine the spaces of states of the two-dimensional $O(n)$ and $Q$-state Potts models with generic parameters $n,Q\in \mathbb{C}$ as representations of their known symmetry algebras. While the relevant representations of the conformal algebra were recently worked out, it remained to determine the action of the global symmetry groups: the orthogonal group for the $O(n)$ model, and the symmetric group $S_Q$ for the $Q$-state Potts model. We do this by two independent methods. First we compute the twisted torus partition functions of the models at criticality. The twist in question is the insertion of a group element along one cycle of the torus: this breaks modular invariance, but allows the partition function to have a unique decomposition into characters of irreducible representations of the global symmetry group. Our second method reduces the problem to determining branching rules of certain diagram algebras. For the $O(n)$ model, we decompose representations of the Brauer algebra into representations of its unoriented Jones--Temperley--Lieb subalgebra. For the $Q$-state Potts model, we decompose representations of the partition algebra into representations of the appropriate subalgebra. We find explicit expressions for these decompositions as sums over certain sets of diagrams, and over standard Young tableaux. We check that both methods agree in many cases. Moreover, our spaces of states are consistent with recent bootstrap results on four-point functions of the corresponding CFTs.

研究の動機と目的

• 2次元O(n)およびQ状態Potts模型の状態空間を、その全称対称性群O(n)およびS_Qの表現として完全に特徴づけること。
• 従来は知られていた conformal algebra を超えて、O(n)およびS_Qが conformal field theory の状態に作用する方法を解明すること。
• 一般パrameter n, Q ∈ ℂ における臨界O(n)およびPotts模型を統一的に扱う枠組みを提供し、ブートストラップ結果と整合すること。
• 二つの独立した手法を用いて、全称対称性の下での状態の分解の明示的かつ計算可能な表現を確立すること。
• 複数のケースにおいて、代数的手法と分配関数に基づく手法との整合性を検証すること。

提案手法

• トーラスの一方のサイクルに群の元を挿入することで、ねじれたトーラス分配関数を計算し、モジュラー不変性を破るが、全称対称性群の既約表現への一意的分解を可能にする。
• 図式代数—O(n)模型に対してはブレア代数、Potts模型に対しては分割代数—を用いて、全称対称性が状態空間に作用する方法を記述する。
• O(n)模型に対しては、ブレア代数ℬ_L(n)からその非有向ジョーンズ–テンパラー–リーマン部分代数への分岐則を導出し、Potts模型に対しては分割代数ℒ_L(Q)からそのPT-L部分代数への分岐則を導出する。
• 分解を図式および標準ヤング盤の和として表現し、多重度係数の明示的計算を可能にする。
• 複数のLおよびrの値について、ねじれた分配関数と代数的手法の間の分岐係数を比較することで、両者の整合性を検証する。
• 遷移行列の対角化とヤング射影子解析を用いて、低ランク表現の分岐係数を計算し、互いに検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のn, Q ∈ ℂ における2次元O(n)およびQ状態Potts CFTの状態空間に、全称対称性群O(n)およびS_Qがどのように作用するか。
• RQ2 ねじれた分配関数と図式代数の分岐則の両方を用いて、全称対称性表現の分解を独立に計算でき、それらが一致するか。
• RQ3 両模型の状態空間の分解における既約表現の多重度を記述する明示的表現は何か。
• RQ4 これらの結果は、対応するCFTにおける四点関数に関する最近のブートストラップ結果とどのように一致するか。
• RQ5 ブレア代数および分割代数の表現が、それぞれの部分代数に制限された際の正確な分岐則は何か。

主な発見

• O(n) CFTの状態空間は、r ∈ ½ℕ*, s ∈ ½ℤ でラベル付けされた表現Λ_(r,s)に分解され、ヤング図式およびチェビシェフ多項式の形で明示的な式で与えられる。
• O(n)模型では、ブレア代数ℬ_L(n)からそのuJTL部分代数への分岐則が、r'およびヤング図式の和として与えられ、係数にはチェビシェフ多項式とgcd条件が含まれる。
• Potts模型では、分割代数ℒ_L(Q)からそのPT-L部分代数への分解が明示的な分岐則をもち、L=8までに検証済み。
• 多重度d^[L-1,1]_(L,k/L)はk ≠ 0のとき1、k=0のとき0であり、基本表現の次元L−1と一致する。
• [L−2,2]の表現では、kが偶数のとき⌊(L−2)/2⌋、kが奇数のとき⌊(L−3)/2⌋の多重度をもち、合計は½L(L−3)であり、フック長公式と整合する。
• [L−2,1,1]の表現では、k=0のとき1+⌊(L−3)/2⌋、非ゼロ偶数kのとき⌊(L−3)/2⌋、奇数kのとき⌊(L−2)/2⌋の多重度をもち、合計は½(L−1)(L−2)であり、L=7までに確認済み。