[論文レビュー] Sparse Output Feedback Synthesis via Proximal Alternating Linearization Method

Fu Xun Lin, Veronica Adetola|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スパースな静的出力フィードバックゲインと行・列スパースな出力行列を同時に設計するための近接交替線形化法（PALM）を提案する。閉ループ性能を最小化するとともに、フィードバックゲインおよび出力行列の両方にスパarsity制約を課す。本手法はグローバル収束性と目的関数の単調減少性を保証し、60,000変数の不安定なシステムに対して、Kurdyka-Łojasiewicz条件を満たす場合に収束を保証する。

ABSTRACT

We consider the co-design problem of sparse output feedback and row/column-sparse output matrix. A row-sparse (resp. column-sparse) output matrix implies a small number of outputs (resp. sensor measurements). We impose row/column-cardinality constraint on the output matrix and the cardinality constraint on the output feedback gain. The resulting nonconvex, nonsmooth optimal control problem is solved by using the proximal alternating linearization method (PALM). One advantage of PALM is that the proximal operators for sparsity constraints admit closed-form expressions and are easy to implement. Furthermore, the bilinear matrix function introduced by the multiplication of the feedback gain and the output matrix lends itself well to PALM. By establishing the Lipschitz conditions of the bilinear function, we show that PALM is globally convergent and the objective value is monotonically decreasing throughout the algorithm. Numerical experiments verify the convergence results and demonstrate the effectiveness of our approach on an unstable system with 60,000 design variables.

研究の動機と目的

• 制御システムにおけるセンサおよび通信コストを低減するために、スパースな静的出力フィードバックゲインとスパースな出力行列を共同設計すること。
• 出力行列に行または列の基数制約を課し、フィードバックゲインにスパarsityを課して、センサ数および通信リンク数を直接制御すること。
• 非凸かつ非滑らかである最適制御問題を、近接交替線形化法（PALM）を用いて解くこと。
• バイナリック行列関数のリプシッツ連続性の証明とKurdyka-Łojasiewicz条件の下で、PALMのグローバル収束性を確立すること。
• 60,000の設計変数を有する大規模な不安定なシステムに対して、数値的に手法を検証すること。

提案手法

• フィードバックゲインと出力行列の積に由来する双線形行列項を含む非凸かつ非滑らかな最適化問題を解くために、近接交替線形化法（PALM）を用いる。
• フィードバックゲイン $ K $ に対する基数制約と、出力行列 $ C $ に対する行・列スパarsityを課し、効率的な実装が可能な閉形式の近接作用素を導入する。
• バイナリック構造 $ F = KC $ を活用して、$ K $ と $ C $ に関して目的関数を交互に最小化し、近接更新を用いる。
• 適切なノルムの下で、バイナリック関数 $ H(K,C) = KC $ がリプシッツ連続であることを証明することで、グローバル収束性を確立する。
• 性能指標 $ J $ がKurdyka-Łojasiewicz（KL）条件を満たす場合に、収束が臨界点に到達することを保証するために、KL性質を適用する。
• 各反復で目的関数の十分な減少を保証するために、PALMフレームワーク内にラインサーチ戦略を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PALMは、非凸かつ非滑らかな最適制御設定において、スパースな出力フィードバックとスパースな出力行列の共同設計に効果的に適用可能か？
• RQ2 スパarsity制約を伴う本番の共同設計問題に対して、PALMアルゴリズムはグローバル収束性を保証するか？
• RQ3 60,000の設計変数を有する大規模システムにおいて、PALMの収束特性はいかなるものか？
• RQ4 バイナリック行列関数 $ F = KC $ は、PALMの収束特性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 どのような条件下で、PALMは最適制御問題の臨界点に収束するか？

主な発見

• PALMは、バイナリック行列関数 $ H(K,C) = KC $ のリプシッツ連続性を確立することで、スパースな出力フィードバック共同設計問題に対してグローバル収束性を達成する。
• 目的関数値はPALMの反復全体にわたり単調に減少し、降下動作が確認された。
• Kurdyka-Łojasiewicz（KL）性質の下で、PALMは最適化問題の臨界点に収束する。
• 数値実験により、60,000の設計変数を有する大規模な不安定なシステムにおいて、PALMの収束特性が確認された。
• スパースな出力行列とスパースなフィードバックゲインの共同設計により、センサ数と通信リンク数のバランスが適切に制御された。
• スパarsity制約に対する近接作用素は閉形式で解けるため、効率的かつスケーラブルな実装が可能となった。