[論文レビュー] Sparsest Cut on Bounded Treewidth Graphs: Algorithms and Hardness Results

Anupam Gupta, Kunal Talwar+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 32被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、木幅が有界なグラフにおける非一様スパーステストカット問題に対して、時間 $n^{O(k)}$ で動作する2近似アルゴリズムを提示する。ここで $k$ は木幅を表す。アルゴリズムは、標準的なLP緩和の $O(kackepsilon n)$ ラウンドのシェラリ・アダムズの高次化から得られる制約の部分集合を用い、その後に伝搬ラウンディング手順を適用する。この手法は、系列並列グラフ（木幅2）上で $2 - \varepsilon$ の整数性ギャップを示すため、シェラリ・アダムズの多項式ラウンドですら2倍の近似比を改善できないことが示される。

ABSTRACT

We give a 2-approximation algorithm for Non-Uniform Sparsest Cut that runs in time $n^{O(k)}$, where $k$ is the treewidth of the graph. This improves on the previous $2^{2^k}$-approximation in time $\poly(n) 2^{O(k)}$ due to Chlamtáč et al. To complement this algorithm, we show the following hardness results: If the Non-Uniform Sparsest Cut problem has a $ρ$-approximation for series-parallel graphs (where $ρ\geq 1$), then the Max Cut problem has an algorithm with approximation factor arbitrarily close to $1/ρ$. Hence, even for such restricted graphs (which have treewidth 2), the Sparsest Cut problem is NP-hard to approximate better than $17/16 - ε$ for $ε> 0$; assuming the Unique Games Conjecture the hardness becomes $1/α_{GW} - ε$. For graphs with large (but constant) treewidth, we show a hardness result of $2 - ε$ assuming the Unique Games Conjecture. Our algorithm rounds a linear program based on (a subset of) the Sherali-Adams lift of the standard Sparsest Cut LP. We show that even for treewidth-2 graphs, the LP has an integrality gap close to 2 even after polynomially many rounds of Sherali-Adams. Hence our approach cannot be improved even on such restricted graphs without using a stronger relaxation.

研究の動機と目的

• 有界木幅を持つグラフにおける非一様スパーステストカット問題に対して、$n$ に関して多項式時間で動作する定数倍近似アルゴリズムを開発すること。
• Chlamtacら [CKR10] が提示した時間 $\operatorname{poly}(n)2^{O(k)}$ における $2^{2^k}$-近似を改善すること。
• スパーステストカット問題に対するシェラリ・アダムズ階層の限界を調査するため、整数性ギャップの下界を確立すること。
• MaxCutからの還元を用いて、特に系列並列グラフ（木幅2）という制限付きグラフクラスにおけるスパーステストカット問題のハードネス結果を確立すること。
• 一意ゲーム予想に基づき、定数木幅を持つグラフにおけるスパーステストカット問題とMaxCutの関係を調査し、強い近似困難性結果を導出すること。

提案手法

• 非一様スパーステストカット問題のための、標準的なスパーステストカットLP緩和の $O(k\log n)$ ラウンドのシェラリ・アダムズ高次化から得られる制約の部分集合を解く2近似アルゴリズムを設計する。
• 有界木幅グラフの木のような構造を活用し、伝搬ラウンディング手順を用いて分数解を有効なカットに変換する。
• MaxCutのインスタンスからスパーステストカットのインスタンスへの還元を構築し、MaxCutから得られる整数性ギャップの下界をスパーステストカットに移転する。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、系列並列グラフ（木幅2）において、$n^{\delta}$ ラウンドのシェラリ・アダムズ緩和でも依然として整数性ギャップが $2 - \varepsilon$ であることを証明し、階層の本質的な限界を示す。
• 既知のMaxCutにおけるシェラリ・アダムズ階層の整数性ギャップ結果を活用し、定理6.4を用いてスパーステストカットに対する同様のギャップを導出する。
• 一意ゲーム予想を用いて、強い近似困難性結果を導出し、木幅2のグラフにおけるスパーステストカット問題が $1/\alpha_{\text{GW}} - \varepsilon$ よりも良い近似が不可能であることを示す。また、より大きな定数木幅を持つグラフでは、$2 - \varepsilon$ よりも良い近似が不可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界木幅を持つグラフにおいて、$k$ に依存しない $n$ に関して多項式時間で動作する、非一様スパーステストカット問題の定数倍近似が可能か？
• RQ2 スパーステストカット問題に対するシェラリ・アダムズ階層が、有界木幅グラフ上で達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 系列並列グラフ（木幅2）において、シェラリ・アダムズ緩和が多項式ラウンド後に整数性ギャップがどのように振る舞うか？
• RQ4 有界木幅グラフにおけるスパーステストカット問題は、MaxCutほど難しいか。この関係を用いて強いハードネス結果を導出できるか？
• RQ5 一意ゲーム予想は、定数木幅を持つグラフにおけるスパーステストカット問題に対して、非定数の近似困難性を示唆するか？

主な発見

• 本稿では、木幅 $k$ のグラフにおける非一様スパーステストカット問題に対して、時間 $n^{O(k)}$ で動作する $2$-近似アルゴリズムを提示する。これは、Chlamtac ら [CKR10] が提示した時間 $\operatorname{poly}(n)2^{O(k)}$ における $2^{2^k}$-近似を改善する。
• アルゴリズムは、標準的なスパーステストカットLP緩和の $O(k\log n)$-ラウンドのシェラリ・アダムズ高次化から得られる制約の部分集合に基づき、その後に伝搬ラウンディング手順を適用する。
• 系列並列グラフ（木幅2）において、任意の $\delta > 0$ に対して $n^{\delta}$ ラウンドのシェラリ・アダムズ緩和でも整数性ギャップが $2 - \varepsilon$ であることが示され、この手法はより強い緩和がなければ改善できないことが示される。
• 非一様スパーステストカット問題が系列並列グラフにおいて $\rho$-近似可能であれば、MaxCutは $1/\rho$ に近い近似比を持つアルゴリズムを有する。これは、木幅2のグラフにおけるスパーステストカット問題が $17/16 - \varepsilon$ よりも良い近似がNP困難であることを示唆する。
• 一意ゲーム予想を仮定すると、系列並列グラフにおけるスパーステストカット問題の近似困難性は $1/\alpha_{\text{GW}} - \varepsilon \approx 1.14$（$\alpha_{\text{GW}} \approx 0.878$ より）であり、より大きな定数木幅を持つグラフでは $2 - \varepsilon$ である。
• ある $\gamma > 0$ に対して、$n^{\gamma}$ ラウンドの後でも、シェラリ・アダムズ階層の整数性ギャップが $2 - \varepsilon$ のまま残ることを示し、このグラフクラスでは階層が2より良い近似比を達成できないことを示している。