[論文レビュー] Spatial Process Generation

Dirk P. Kroese, Zdravko I. Botev|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2013

Data Management and Algorithms参考文献 32被引用数 47

ひとこと要約

本稿では、ガウス Markov 項値フィールド、点過程（ポアソン、複合ポアソン、クラスタ、コックス）、ウィENERに基づくフィールド、および Lévy シートを含む、空間過程の包括的なフレームワークを提示する。多変量正規分布サンプリング、無限に分割可能な測度を用いた確率的積分、およびカーネルに基づく近似を用いたシミュレーションアルゴリズムを導入し、地球統計学、画像処理、空間モデリングの分野における、複雑な空間確率的モデルの正確かつ効率的な生成を可能にする。

ABSTRACT

The generation of random spatial data on a computer is an important tool for understanding the behavior of spatial processes. In this paper we describe how to generate realizations from the main types of spatial processes, including Gaussian and Markov random fields, point processes, spatial Wiener processes, and Levy fields. Concrete MATLAB code is provided.

研究の動機と目的

• 空間統計および確率的モデリング分野の研究者を対象に、主な空間過程の種類とそのシミュレーション技術の統一的概要を提供すること。
• 非ガウス的または依存構造を有する複雑な空間確率的過程の現実的実現を効率的に生成する課題に対処すること。
• コレスキー分解や確率的積分を含むモンテカルロ法を用いた、空間過程のシミュレーションに実用的で計算可能であるアルゴリズムの開発。
• ガウス過程を超えた拡張として、Lévy フィールドや無限に分割可能な過程を含むシミュレーション手法の開発により、重尾的またはジャンプ型の空間現象のモデリングを可能にすること。
• 地球物理学、画像解析、材料科学への応用を支援するため、収束に関する理論的保証を伴う実装可能なシミュレーション手順を提供すること。

提案手法

• ガウス過程のための多変量正規分布ベクトルの生成にコレスキー分解を用い、$\mathbf{X} = \boldsymbol{\mu} + A\mathbf{Z}$ により平均と分散共分散構造を正確に再現する。ここで $A$ は共分散行列 $\Sigma$ のコレスキー因子である。
• 精度行列の分解を用いたガウス・マルコフ・ランダム・フィールドのシミュレーション：$\mathbf{Y} = D^\top \mathbf{Z}$ で表され、$DD^\top = \Lambda = \Sigma^{-1}$ を満たす。この手法により、大規模グリッド上での計算が効率的に行える。
• 確率的強度測度を用いた空間点過程の構築：独立な指数分布の間隔時間によりポアソン過程をシミュレートし、ジャンプサイズを確率的に変化させることで複合ポアソン過程を生成する。
• 親点をポアソン過程で生成し、各親点の周囲に移動分布に従って子点を生成することでクラスタ過程を構築する。
• コックス過程を二重確率的過程としてシミュレートする：ポアソン過程の強度測度をランダムフィールドまたはショットノイズカーネルでランダム化する。
• 離散的確率的積分による Lévy シートの近似：$X_{\mathbf{t}}^{(n)} = \sum_{i,j} \kappa_{\mathbf{t}}(i/n,j/n) \Lambda(\triangle_{ij})$ で表され、$\Lambda(\triangle_{ij})$ は i.i.d. の無限に分割可能な変量であり、$n \to \infty$ のとき確率的に真の過程 $X_{\mathbf{t}}$ に収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列分解手法を用いて、ガウス的およびマルコフ的性質を併せ持つ空間過程を効率的にシミュレートする方法は何か？
• RQ2 ポアソン、クラスタ、コックス過程などの空間点過程に対して、最も効果的なシミュレーション戦略は何か？
• RQ3 確率的積分とカーネル関数を用いて、ウィナーに基づく確率的フィールドをどのように生成できるか？
• RQ4 空間領域における連続的 Lévy シートへの離散的近似の収束を保証する条件は何か？
• RQ5 無限に分割可能な確率測度を用いて、重尾的または非ガウス的増分を有する Lévy シートをどのようにシミュレートできるか？

主な発見

• コレスキー分解法により、任意の平均および共分散構造を有する有限次元ガウス過程の正確なシミュレーションが可能である。
• 精度行列と $DD^\top = \Lambda$ の分解を用いることで、大規模グリッド上でのガウス・マルコフ・ランダム・フィールドのシミュレーションが効率的に行え、計算複雑度が低減される。
• $\Lambda(\triangle_{ij}) \sim \text{Gamma}(\alpha |\triangle_{ij}|, \beta)$ を用いたガンマ Lévy シートの近似は、$\alpha$ が小さいほど局所的変動が大きくなるため、局所的変動の制御が可能であることを示している。
• カーネル $\kappa_{\mathbf{t}}$ および測度 $\Lambda$ にややきつい正則性条件が課されれば、離散的近似 $X_{\mathbf{t}}^{(n)}$ は確率的に真の Lévy シート $X_{\mathbf{t}}$ に収束する。
• 無限に分割可能な測度を用いた確率的積分の使用により、ジャンプや重尾的特性を有する非ガウス的空間過程の広いクラスの構築が可能である。
• ウェーブレットに基づく手法は、高次元設定における高速計算を可能にする Lévy シートの近似シミュレーションの代替手段を提供する。