[論文レビュー] Special bases for derivations of tensor algebras. III. Case along smooth maps with separable points of selfintersection

Bozhidar Z. Iliev|ArXiv.org|May 4, 2003

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、微分可能多様体上のテンソル代数の導分の成分が次元 $ p \geq 2 $ の部分多様体に沿って消える特別な基底（完全接続または非完全接続）の存在に必要な・十分な条件を確立する。これは点や曲線に対する既存の結果を一般化したものである。主な貢献は、このような基底の存在を決定する曲率に類似た条件（17）であり、等価原理が線形接続において数学的に定理であるのは、次元 $ \geq 2 $ の部分多様体上で曲率が消える場合に限られ、高次元部分多様体では一般には成り立たないことを示している。

ABSTRACT

Necessary and/or sufficient conditions are studied for the existence, uniqueness and holonomicity of bases in which on sufficiently general subsets of a differentiable manifold the components of derivations of the tensor algebra over it vanish. The linear connections and the equivalence principle are considered form that point of view.

研究の動機と目的

• 点や曲線から次元 $ p \geq 2 $ の部分多様体へ、導分成分が消える基底の存在を一般化すること。
• 任意のテンソル代数の導分の文脈において、このような基底の存在・一意性・完全接続性に関する必要十分条件を特定すること。
• 重力理論における線形接続に基づく等価原理の数学的定式化と有効範囲を明確化すること。
• 等価原理が高次元部分多様体において一般に成り立たないことが示され、曲率条件（17）が満たされる場合に限り成立することを示すこと。

提案手法

• テンソル代数の導分を $ S $-導分 $ D_X = L_X + S_X $ として表現し、$ L_X $ をリー微分、$ S_X $ を型-(1,1)テンソル場とする。
• 基底変換における $ D_X $ の成分 $ (W_X)^i{}_j $ の変換則を導出し、行列方程式 $ W' = A^{-1}[W A + X(A)] $ に至る。
• 次元 $ p $ の部分多様体 $ \gamma(J^p) $ に適合する座標系 $ \{x^i_r\} $ を導入し、接ベクトル場に沿った共変微分を用いて曲率に類似た量 $ R_{\alpha\beta} $ を定義する。
• $ \gamma(J^p) $ 上で $ R_{\alpha\beta} = 0 $ である条件を分析し、これは、成分 $ \Gamma_{k'} \mid_{\gamma(J^p)} = 0 $ を持つ基底の存在に必要な・十分であることが示される。
• 線形接続にこの枠組みを適用し、成分が消えるのは曲率条件（17）が成り立つ場合に限られることを示し、$ p=0,1 $ の場合の先行結果を一般化する。
• torsion 演算子 $ T^D(X,Y) = D_X Y - D_Y X - [X,Y] $ を用いて、このような基底が完全接続である条件を特徴づけ、$ U $ 上で torsion が消える場合に限り完全接続性が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分可能多様体上の $ p $ 次元部分多様体に沿って、テンソル代数の導分の成分が消える特別な基底が存在する条件は何か？
• RQ2 特に線形接続に対して、このような基底の存在を決定する数学的条件は何か？ その条件は次元 $ p \geq 2 $ の部分多様体上で成り立つ。
• RQ3 等価原理は局所基底における接続成分の消え方とどのように関係するか？ どのような幾何的条件下で成り立つか？
• RQ4 このような基底が完全接続であることは可能か？ その場合、導分の torsion にどのような条件が必要か？
• RQ5 重力理論における線形接続に基づく等価原理は一般に成り立つか、あるいは幾何的障害があるか？

主な発見

• 次元 $ p $ の部分多様体 $ \gamma(J^p) $ に沿って導分の成分が消える基底の存在に必要な・十分な条件は、接ベクトル場に沿った共変微分を用いて定義される曲率に類似た量 $ R_{\alpha\beta} $ が $ \gamma(J^p) $ 上で恒等的に消えることである。
• $ p=0 $（点）または $ p=1 $（滑らかな曲線）の場合、条件 $ R_{\alpha\beta} = 0 $ は自動的に満たされるため、このような基底は常に存在し、以前の結果と整合的である。
• $ p = n = \dim(M) $ の場合、条件は全曲率テンソルの消えることへ簡略化され、このような基底が存在するのは接続が平坦である場合に限られ、以前の研究の結果を回復する。
• 線形接続が集合 $ U $ 上で成分が消える基底を持つならば、すべての such 基底は、対応する基底ベクトルの作用に関して不変な行列をもつ線形変換によって関係づけられる。
• このような基底が $ U $ 上で完全接続であるのは、導分の torsion が $ U $ 上で消える場合に限り成り立つ。完全接続性は torsion の欠如と結びつく。
• 等価原理は線形接続に基づく重力理論において一般に成り立たない。それは点または曲線では恒等的に成り立つが、次元 $ \geq 2 $ の部分多様体上で曲率が消える場合にのみ成り立つ。