[論文レビュー] Special Functions and the Range of Multiplicative Functions on C[x], R[x] and Z[x]

Christopher D. Sinclair|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2005

Analytic Number Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式の複素平面における零点配置を用いて多項式の複雑さを測るため、Mahlerの測度を一般化した乗法的距離関数を導入する。複素および実のモーメント関数—関連する分布関数のメリン変換として得られる—がそれぞれグラム行列および反対称行列の行列式およびパフィアンとして表現可能であり、これにより深い算術的構造が明らかになる。特に、単位容量楕円形に対しては、これらのモーメント関数は有理数係数またはπの有理数倍の係数をもち、原点で高次の零点を持つ有理関数であることが判明する。

ABSTRACT

Mahler’s measure is generalized to create the class of multiplicative distance functions. These functions measure the complexity of polynomials based on the location of their zeros in the complex plane. Several examples of multiplicative distance functions are given including those formed from equilibrium potentials of compact connected subsets of C. To each multiplicative distance function we associate two families of analytic functions which encode information about its range on C[x] and R[x]. These moment functions are Mellin transforms of distribution functions associated to the multiplicative distance function and demonstrate a great deal of arithmetic structure. As an example of this we will demonstrate that the moment functions associated to the equilibrium potential of a family of ellipses of capacity 1 turn out to be rational functions with coefficients which are either rational or rational times a power of π. Moreover the poles of these functions are at positive and negative integers, and each of these functions has a high multiplicity zero at the origin. These results follow from the discovery that the complex moment functions of a multiplicative distance function can be written as determinants of Gram matrices formed from an inner product associated to the multiplicative distance function. Similarly the real moment functions can be written as Pfaffians of antisymmetric matrices formed from a skew-symmetric inner product associated to the multiplicative distance function. As a practical application of this theory we give asymptotic estimates for the number of reciprocal polynomials of fixed degree with Mahler measure less than T as T → ∞.

研究の動機と目的

• 多項式の零点の配置を複素平面に反映する乗法的距離関数のクラスにわたり、Mahlerの測度を一般化すること。
• 関連する解析的モーメント関数を通じて、多項式環C[x]、R[x]、Z[x]上でのこれらの関数の範囲を分析すること。
• 内積から導かれる行列形式の行列式およびパフィアンとして表現することにより、これらのモーメント関数に隠された算術的構造を解明すること。
• 理論を応用し、T → ∞ のときの、固定次数の逆多項式でMahler測度が閾値T未満であるものの個数の漸近的推定値を導出すること。

提案手法

• コンパクトかつ連結なCの部分集合の均衡ポテンシャルを用いて、C上の多項式環C[x]、R[x]、Z[x]に対して乗法的距離関数を定義する。特に、単位容量楕円形に注目する。
• 乗法的距離関数に関連する分布関数のメリン変換として、複素および実のモーメント関数を構成する。
• 距離関数に関連する正定値内積から得られるグラム行列の行列式として、複素モーメント関数を表現する。
• 距離関数と関連する反対称内積から導かれる反対称行列のパフィアンとして、実モーメント関数を表現する。
• 行列の構造を用いて、単位容量楕円形に対するモーメント関数が、有理数係数またはπの有理数倍の係数をもつ有理関数であることを証明する。
• モーメント関数の解析的性質を活用して、Mahler測度 < T である固定次数の逆多項式の個数に対する漸近的推定値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mahlerの測度は、複素平面における多項式の零点の位置を反映する乗法的距離関数へどのように一般化可能か？
• RQ2 このような乗法的距離関数に関連するモーメント関数に、どのような算術的構造が現れるか？
• RQ3 なぜ単位容量楕円形に対するモーメント関数は、有理数係数またはπの有理数倍の係数をもち、原点で高次元の零点を持つのか？
• RQ4 複素および実モーメント関数の行列式およびパフィアン表現は、より深い解析的および数論的性質をどのように明らかにするか？
• RQ5 T → ∞ のとき、Mahler測度がT未満である逆多項式の個数は、どのような漸近的性質を示すか？

主な発見

• 乗法的距離関数の複素モーメント関数は、関連する正定値内積から得られるグラム行列の行列式として表現可能である。
• 実モーメント関数は、距離関数と関連する反対称内積から得られる反対称行列のパフィアンとして表現可能である。
• 単位容量楕円形の均衡ポテンシャルに対しては、モーメント関数が有理数係数またはπの有理数倍の係数をもつ有理関数である。
• これらのモーメント関数は正の整数および負の整数にのみ極を持つため、その解析的挙動に深い算術的構造が内在していることが示唆される。
• 各モーメント関数は原点で高次元の零点を持つため、関連する多項式族の背後にある対称性と複雑さが反映されている。
• 理論により、T → ∞ のときの、固定次数の逆多項式でMahler測度がT未満であるものの個数に対する漸近的推定値が得られ、これはモーメント関数の解析的性質から導出される。