[論文レビュー] Special Lagrangian 3-folds and integrable systems

Dominic Joyce|ArXiv.org|Jan 30, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特殊ラグランジュ3次元部分多様体と可積分系の間の深い関係を確立し、特定の族がTzitzéica方程式およびスペクトル曲線論に関連する可換な常微分方程式の解から生じることを示している。主な貢献は、自己同型に関して5次元の特殊ラグランジュ3次元部分多様体の族を構成し、調和写像と可積分系の技法を用いて明示的に構成した点であり、特殊ラグランジュ方程式がより高次元の可積分系を形成するかどうかという未解決の問題を提起している。

ABSTRACT

This is the sixth in a series of papers constructing examples of special Lagrangian m-folds in C^m. We present a construction of special Lagrangian cones in C^3 involving two commuting o.d.e.s, motivated by the first two papers of the series. Then we generalize it to a construction of non-conical special Lagrangian 3-folds in C^3 involving three commuting o.d.e.s. Now special Lagrangian cones in C^3 are linked to the theory of harmonic maps and integrable systems. Harmonic maps from a Riemann surface into complex projective space CP^n are an integrable system, and can be studied and classified using loop group techniques. If N is a special Lagrangian cone in C^3, then N is the cone on the image of a conformal harmonic map ψ: S --> S^5 for some Riemann surface S, and the projection of ψto CP^2 is also conformal harmonic. Our examples of special Lagrangian cones in C^3 yield conformal harmonic maps ψ: R^2 --> CP^2. We work through the integrable systems theory for these examples, showing that they are superconformal of finite type, and calculating their harmonic sequences, Toda and Tzitzeica solutions, algebra of polynomial Killing fields and spectral curves. We also study the double periodicity conditions for ψ, and so find families of superconformal tori in CP^2. We finish by asking whether our more general construction of special Lagrangian 3-folds can also be derived from a higher-dimensional integrable system, and whether the special Lagrangian equations themselves are in some sense integrable.

研究の動機と目的

• ℂ³における特殊ラグランジュ幾何と可積分系理論、特に調和写像とスペクトル曲線の理論を結びつけること。
• 可換な常微分方程式と調和写像理論を用いて、特殊ラグランジュ3次元部分多様体の明示的族を構成すること。
• これらの構成が、可積分系の特徴である可換な流れ、保存量、楕円関数といった性質を示すことを証明すること。
• 特殊ラグランジュ方程式自体がより高次元の可積分系を形成するかどうかという未解決の問題を提起すること。

提案手法

• ℂ³における特殊ラグランジュ錐を、S⁵内の最小特徴的ラグランジュ部分多様体の錐包とすること。
• ℝ² → S⁵ への等角的調和写像 φ の投影を ψ: ℝ² → ℂℙ² とし、これがラグランジュ的かつ調和的であることを用いる。
• ψ を可積分系の道具を用いて分析する：Tzitzéica方程式、ループ群、多項式キリング場。
• ラグランジュ的像の条件により、SU(3) Toda格子をTzitzéica方程式に簡約する。
• 第7節で3つの可換な常微分方程式を用いて明示的なSL 3-多様体を構成し、第5節の2変数系の一般化を行う。
• s と t における二重周期性条件を用いて、T²×ℝ に微分同相な閉じた、埋め込まれたSL 3-多様体を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ³における特殊ラグランジュ3次元部分多様体は、可積分系の技法を用いて体系的に構成可能だろうか？
• RQ2 特殊ラグランジュ方程式の解は、可換な流れやスペクトル曲線といった、可積分系の構造的特徴を示すだろうか？
• RQ3 ℂ³における特殊ラグランジュ方程式の背後には、より高次元の可積分系が存在するだろうか？
• RQ4 ℂ³の自己同型に関して、特殊ラグランジュ3次元部分多様体の異なる族はいくつ存在するだろうか？
• RQ5 特殊ラグランジュ錐から生じる調和写像 ψ: ℝ² → ℂℙ² は、可積分系のデータを用いて完全に分類可能だろうか？

主な発見

• 定理7.1の構成により、自己同型に関して5次元の特殊ラグランジュ3次元部分多様体の族が得られ、αₖ, βₖ, γₖ および定数 A, B, C でパラメータ付けられる。
• 一般の初期値に対して、調和写像 ψ: ℝ² → ℂℙ² はスーパー等角的であり、完全な調和列とTzitzéica解を有する。
• ψ のスペクトル曲線はラグランジュ的像の条件により追加の対称性を獲得し、SU(3) Toda格子がTzitzéica方程式に簡約される。
• αₖ > 0 かつ βₖ, γₖ が符号が異なる場合、常微分方程式の解はℝに拡張可能となり、グローバルな構成が可能になる。
• s と t における二重周期性により、T²×ℝ に微分同相な閉じた、埋め込まれたSL 3-多様体が得られ、そのような族は可算無限個存在する。
• 解は保存量、楕円関数、可換な常微分方程式を示しており、SL 3-多様体の背後にはより深い可積分構造が存在する可能性を示唆している。