[論文レビュー] Special Lagrangian Cones

Mark Haskins|ArXiv.org|May 17, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、S⁵へのS¹-可換な調和写像を用いて、ℂ³における特異点をもつ非同相な特殊ラグランジュ錐の無限族を構成し、それらが埋め込まれたトーラス的リンクを持つことを証明している。さらに、ℂ³における特殊ラグランジュ錐でリンクが球面であるようなものについては、それが平面に限ることを示しており、3次元における鋭い正則性制約を確立している。

ABSTRACT

We study special Lagrangian cones in $\C^n$ with isolated singularities. Our main result constructs an infinite family of special Lagrangian cones in $\C^3$ each of which has a toroidal link. We obtain a detailed geometric description of these tori. We prove a regularity result for special Lagrangian cones in $\C^3$ with a spherical link -- any such cone must be a plane. We also construct a one-parameter family of asymptotically conical special Lagrangian submanifolds from any special Lagrangian cone.

研究の動機と目的

• ℂ³における孤立特異点と非自明なリンクをもつ特殊ラグランジュ錐の新しい例を構成すること。
• 特にリンクに関して、ℂ³における特殊ラグランジュ錐の幾何学的・位相的制約を理解すること。
• 球面的リンクをもつ特殊ラグランジュ錐に関する鋭い正則性結果を確立すること。
• S⁵における特殊レジェンドリアン部分多様体とℂ³における特殊ラグランジュ錐との対応を調べること。
• 与えられた錐から1パラメータ族の漸近的に錐型の特殊ラグランジュ部分多様体を構成すること。

提案手法

• S²ⁿ⁻¹(1)におけるθ-特殊レジェンドリアン部分多様体の概念を導入し、それらがℂⁿにおけるθ-特殊ラグランジュ錐のリンクを通じて分類されることを示す。
• ℝ²からSU(3)へのS¹-可換な調和写像を用いて、S⁵への特殊レジェンドリアン埋め込みの2パラメータ族を構成する。
• C. ニューマン系を有限次元の可積分系として用い、保存量をもつ解を生成する。
• 調和写像の周期性条件を解析し、それがS⁵における最小レジェンドリアントーラスに下降する条件を同定する。
• 明示的な楕円関数恒等式（cn, sn, dn）を用いて、得られるトーラスの二重周期性および埋め込み性を検証する。
• 各錐から1パラメータ族の漸近的に錐型の特殊ラグランジュ部分多様体を構成し、リンクとe^{iπ/3}による回転に対応する2つの錐的端を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ³におけるトーラス的リンクをもつ非同相な特殊ラグランジュ錐を無限に構成できるか。
• RQ2 ℂ³における特殊ラグランジュ錐のリンクに関して、どのような位相的・幾何学的制約が存在するか。
• RQ3 ℂ³における非平面的特殊ラグランジュ錐で、球面的リンクをもつものは存在するか。
• RQ4 S⁵における特殊レジェンドリアン埋め込みが二重周期的であり、埋め込みトーラスを導くための条件は何か。
• RQ5 特殊ラグランジュ錐は、アソシオアティブ、コアソシオアティブ、およびカイリー錐といった他の自己形式幾何とどのように関係するか。

主な発見

• ℂ³における非同相な特殊ラグランジュ錐の無限族が存在し、それぞれがSU(3)のS¹部分群による不変な埋め込みトーラス的リンクをもつ。
• ℂ³における特殊ラグランジュ錐でリンクが球面（可能であれば自己交叉をもつ）であるものは、すべて平面に限る。これは鋭い正則性結果を示している。
• α ∈ ℚ ∩ (0,1] かつ J = 0 のとき、埋め込み u₀,α は二重周期的であり、S⁵における埋め込み最小レジェンドリアントーラスを導く。
• J ∈ (0, 1/(3√3)) の稠密な集合に対して、埋め込み u_J,₀ は二重周期的であり、埋め込み最小レジェンドリアントーラスを導く。
• 構成されたレジェンドリアントーラスのガウス曲率は、絶対値が任意に小さくできる。これは、非平坦な最小レジェンドリアントーラスがε-ピンチ可能であることを示している。
• 各錐から1パラメータ族の漸近的に錐型の特殊ラグランジュ部分多様体が構成され、リンクとe^{iπ/3}による回転に対応する2つの錐的端を持つ。