[论文解读] Special Lagrangian fibrations, mirror symmetry and Calabi-Yau double covers

Denis Auroux|ArXiv.org|Mar 18, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文探讨了特殊拉格朗日子纤维化、镜像对称与卡拉比-丘双重覆盖之间的关系，提出在凯勒流形 X 中超曲面 H 的补集上，若存在一个特殊拉格朗日子纤维化，则可将其提升至以 H 为分支的卡拉比-丘双重覆盖 Y 上的 Z/2-不变纤维化。关键结果是，Y 上两个例外圆盘的瞬子修正改变了镜像几何，导致修正后的粘合关系 uv = (1 + e^{-ε}z^{-1})(1 + e^{-ε}z)，该关系破坏了 X 的镜像与 Y 的镜像在 |z| < 1 区域限制之间的预期相容性。

ABSTRACT

The first part of this paper is a review of the Strominger-Yau-Zaslow conjecture in various settings. In particular, we summarize how, given a pair (X,D) consisting of a Kahler manifold and an anticanonical divisor, families of special Lagrangian tori in X-D and weighted counts of holomorphic discs in X can be used to build a Landau-Ginzburg model mirror to X. In the second part we turn to more speculative considerations about Calabi-Yau manifolds with holomorphic involutions and their quotients. Namely, given a hypersurface H representing twice the anticanonical class in a Kahler manifold X, we attempt to relate special Lagrangian fibrations on X-H and on the (Calabi-Yau) double cover of X branched along H; unfortunately, the implications for mirror symmetry are far from clear.

研究动机与目标

• 研究当 H 是凯勒流形 X 中满足 [H] = 2K_X^{-1} 的超曲面时，X\H 上的特殊拉格朗日子纤维化是否可在以 H 为分支的卡拉比-丘双重覆盖 Y 上提升为 Z/2-不变纤维化。
• 理解通过全纯圆盘计数与加权求和构造的 X 的镜像，与卡拉比-丘流形 Y 的镜像之间的关系。
• 研究从 X\H 到 Y 的过渡过程中，瞬子修正在镜像几何中的影响，特别是双重覆盖中存在两个例外圆盘时的情形。
• 检验 Y 的镜像是否可通过沿 D 黏合两个 X 的镜像得到，正如 Y 退化为两个沿 D 黏合的 X 时所暗示的那样。

提出的方法

• 通过 X 中全纯圆盘的加权计数，将 X 的镜像构造为 Landau-Ginzburg 模型 (X^∨, W)，其中超势 W 编码了墙穿越现象与瞬子修正。
• 以 Strominger-Yau-Zaslow (SYZ) 猜想为框架，假设 Y 上的纤维化在全纯对合下不变，从而将 X\H 上的特殊拉格朗日子纤维化与 Y 上的纤维化联系起来。
• 分析双重覆盖 Y 的辛几何与复几何，特别是存在一条 −2 曲线 C（例外除子的提升）时，该曲线在与墙纤维相交时分裂为两个 Maslov 指数为 0 的圆盘，并与特殊拉格朗日子纤维相交。
• 通过计算两个例外圆盘的贡献，对镜像几何施加瞬子修正，从而在 Y 的镜像上导出修正后的粘合关系。
• 利用 C*×C 在 (1,0) 处的爆破局部模型研究墙穿越与单值性，其中坐标为 z, u, v，墙位于 t1 = 0 处。
• 通过考虑双重覆盖中穿越墙时两个不同例外圆盘的贡献，推导出修正后的镜像关系 uv = (1 + e^{-ε}z^{-1})(1 + e^{-ε}z)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 H 满足适当条件时，X\H 上的特殊拉格朗日子纤维化是否可被提升为以 H 为分支的卡拉比-丘双重覆盖 Y 上的 Z/2-不变纤维化？
• RQ2 Y 上两个例外圆盘的瞬子修正如何影响镜像几何？修正后的镜像是否与 X 的镜像相容？
• RQ3 卡拉比-丘双重覆盖 Y 的镜像是否具有全纯对合 z ↦ z^{-1}？将其限制在 |z| < 1 是否能恢复 X 的瞬子修正镜像？
• RQ4 X 的 Landau-Ginzburg 镜像与 Y 的卡拉比-丘镜像之间存在何种精确关系，特别是在 H 退化为双反 canoncial 除子 D 的极限情形下？
• RQ5 Y 的镜像是否可通过沿其边界 S¹×D^∨ 黏合两个 X^∨ 的副本构造而成，正如 Y 退化为两个沿 D 黏合的 X 时所暗示的那样？

主要发现

• 卡拉比-丘双重覆盖 Y 的瞬子修正镜像由关系 uv = (1 + e^{-ε}z^{-1})(1 + e^{-ε}z) 给出，该关系考虑了 Y 上两个例外圆盘的贡献。
• 修正后的镜像几何破坏了 X 的镜像与 Y 的镜像在 |z| < 1 区域限制之间的预期相容性，与将两个 X^∨ 沿其边界黏合的朴素预期相矛盾。
• 修正后的 Y 镜像上保持了全纯对合 z ↦ z^{-1}，但该对合不诱导到 X 的镜像上，表明镜像结构发生了非平凡形变。
• 在双重覆盖中，墙穿越引入了两个不同的例外圆盘贡献，导致修正粘合关系中出现乘积结构，与原始 X 情形中的单重修正形成对比。
• Y 中存在一条 −2 曲线 C，当其与墙纤维相交时分裂为两个 Maslov 指数为 0 的圆盘，这是双瞬子修正出现的关键因素。
• 修正后的镜像关系表明，Y^∨ 的复结构无法通过沿 S¹×D^∨ 黏合两个 X^∨ 的副本获得，原因在于双重覆盖几何带来的非平凡瞬子修正。