[论文解读] Special Lagrangian submanifolds of log Calabi-Yau manifolds

Tristan C. Collins, Adam Jacob+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 76被引用 11

一句话总结

该论文证明了在对数卡拉比-丘流形 $X = Y \setminus D$ 中存在无穷多组互不相交的特殊拉格朗日子流形，其中 $Y$ 为德尔皮佐或有理椭圆曲面，$D$ 为光滑反Canonical除数。通过使用Tian-Yau的里奇平坦度量和SYZ镜像对称，作者证明：若边界 $D$ 具有特殊拉格朗日子流形，则 $X$ 支持一个孪生特殊拉格朗日纤维化，从而证实了Strominger-Yau-Zaslow和Auroux在复维度2时的猜想。

ABSTRACT

We study the existence of special Lagrangian submanifolds of log Calabi-Yau manifolds equipped with the complete Ricci-flat Kähler metric constructed by Tian-Yau. We prove that if $X$ is a Tian-Yau manifold, and if the compact Calabi-Yau manifold at infinty admits a single special Lagrangian, then $X$ admits infinitely many disjoint special Lagrangians. In complex dimension $2$, we prove that if $Y$ is a del Pezzo surface, or a rational elliptic surface, and $D\in |-K_{Y}|$ is a smooth divisor with $D^2=d$, then $X= Y\backslash D$ admits a special Lagrangian torus fibration, as conjectured by Strominger-Yau-Zaslow and Auroux. In fact, we show that $X$ admits twin special Lagrangian fibrations, confirming a prediction of Leung-Yau. In the special case that $Y$ is a rational elliptic surface, or $Y= \mathbb{P}^2$ we identify the singular fibers for generic data, thereby confirming two conjectures of Auroux. Finally, we prove that after a hyper-Kähler rotation, $X$ can be compactified to the complement of a Kodaira type $I_{d}$ fiber appearing as a singular fiber in a rational elliptic surface $\checkπ: \check{Y} ightarrow \mathbb{P}^1$.

研究动机与目标

• 证明当边界 $D$ 具有特殊拉格朗日子流形时，对数卡拉比-丘流形 $X = Y \setminus D$ 中存在无穷多组互不相交的特殊拉格朗日子流形。
• 在复维度2时，验证Strominger-Yau-Zaslow关于特殊拉格朗日环面纤维化的猜想。
• 确认Auroux关于有理椭圆曲面与 $\mathbb{P}^2$ 上 $X$ 存在孪生特殊拉格朗日纤维化的猜想。
• 对一般数据，确定这些纤维化的奇点纤维，从而验证Auroux的两个额外猜想。
• 证明经超凯勒旋转后，$X$ 可紧化为有理椭圆曲面中去掉一个Kodaira型 $I_d$ 纤维的补集。

提出的方法

• 利用Tian与Yau构造的 $X = Y \setminus D$ 上的完备里奇平坦凯勒度量。
• 应用SYZ构想：$X$ 上的特殊拉格朗日纤维化源于边界 $D$ 上的 $T$-对偶。
• 通过超凯勒旋转将 $X$ 与一个具有奇异 $I_d$ 纤维的紧化有理椭圆曲面联系起来。
• 利用 $D$ 中存在一个特殊拉格朗日子流形的事实，通过与 $S^1$ 的拓扑积生成 $X$ 中可数无穷多组互不相交的特殊拉格朗日子流形。
• 应用非平坦背景中平均曲率流的光滑化估计来控制几何演化。
• 利用Gross-Siebert程序与热带几何的结果，分析对数卡拉比-丘情形下的镜像对称。

实验结果

研究问题

• RQ1 若对数卡拉比-丘流形 $X = Y \setminus D$ 的边界 $D$ 中存在一个特殊拉格朗日子流形，是否意味着 $X$ 中存在无穷多组互不相交的特殊拉格朗日子流形？
• RQ2 当 $Y$ 为德尔皮佐或有理椭圆曲面，且 $D$ 为光滑反Canonical除数时，$X = Y \setminus D$ 是否存在特殊拉格朗日环面纤维化？
• RQ3 如Leung与Yau所预测，$X$ 是否存在孪生特殊拉格朗日纤维化？
• RQ4 当 $Y = \mathbb{P}^2$ 或 $Y$ 为有理椭圆曲面时，$X$ 上纤维化的奇点纤维是什么？
• RQ5 能否通过超凯勒旋转将 $X$ 紧化为有理椭圆曲面中去掉一个Kodaira型 $I_d$ 纤维的补集？

主要发现

• 若紧致卡拉比-丘流形 $D$ 具有光滑、浸入的特殊拉格朗日子流形，则 $X = Y \setminus D$ 存在可数无穷多组互不相交、微分同胚于 $L \times S^1$ 的浸入特殊拉格朗日子流形。
• 当 $Y$ 为德尔皮佐曲面或有理椭圆曲面，且 $D \in |-K_Y|$ 光滑满足 $D^2 = d$ 时，$X$ 存在特殊拉格朗日环面纤维化，从而在复维度2时证实了SYZ猜想。
• $X$ 存在孪生特殊拉格朗日纤维化，证实了Leung与Yau的预测。
• 当 $Y = \mathbb{P}^2$ 或为有理椭圆曲面时，纤维化的奇点纤维被识别为Kodaira型 $I_d$（对一般数据），从而证实了Auroux的两个猜想。
• 经超凯勒旋转后，$X$ 紧化为有理椭圆曲面 $\check{Y} \to \mathbb{P}^1$ 中去掉一个Kodaira型 $I_d$ 纤维的补集，从而提供了镜像的几何实现。