[論文レビュー] Special points and Poincaré bi-extensions, with an Appendix by Bas Edixhoven

Daniel Bertrand|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、曲線上の半アーベル的スキーム上に、ファイバーの捩れ点を全空間内の捩れ点へと上げるセクションを構成し、半アーベル的設定における相対的Manin-Mumford予想の反例を示している。しかし、混合志村多様体の文脈に再解釈すると、この構成はピンの特別部分多様体に関する一般予想を支持する。

ABSTRACT

The paper gives a counter-example to the relative version of the Manin-Mumford conjecture.

研究の動機と目的

• 半アーベル的スキームの文脈における相対的Manin-Mumford予想を、特に半定数拡張の存在下で調査すること。
• ピンの予想へのマッサーザンニエのアプローチにおける潜在的障害を、リビットセクションを含む反例を構成することで解消すること。
• 反例を混合志村多様体の枠組みで再解釈したとき、実際にピンの一般予想を支持することを示すこと。
• 反対称的同種およびポアンカレ双拡張の明示的使用により、構成における捩れ点の位数を制御すること。
• リビットセクションとポアンカレ双拡張を用いて構成された新しいセクションとの関係、特に捩れの性質とヘッケ軌道の観点から明確にすること。

提案手法

• 非等質でないセクション $ B/X $ を、定数楕円曲線スキーム $ E_0 \times X $ への $ \mathbb{G}_m $ による1拡張として構成し、非捩れ点 $ q \in \hat{E}(X) $ でパrameter化する。
• 引き戻しと拡張の双対性を用いたリビット構成により、セクション $ \beta $ を定義し、$ \pi \circ \beta = 2\varphi \circ q $ が $ E(X) $ 内で成り立つように保証する。
• 「上げる性質」を確立し、$ p(\xi) = 2\varphi(q(\xi)) $ が $ E_\xi \simeq E_0 $ 内で捩れ点であれば、$ \beta(\xi) $ が $ B_\xi $ 内で捩れ点であることを保証する。
• ポアンカレ双拡張とワイエル再帰性を用いて $ \beta(\xi) $ の位数を計算し、$ n $ が奇数かつ特定の次数と互いに素であれば $ n^2 \beta(\xi) = 0 $ を示す。
• 自己写像 $ a $ を $ \hat{E}_0 $ 上に導入し、別の構成により第二のセクション $ \beta_J $ を定義し、それがリビットセクションと根の単位元の差異を示すことを示す。
• 構成を混合志村多様体の言語に再解釈し、$ \beta_J(X) $ が特別部分多様体のヘッケ軌道上にあることを示し、ピンの予想を支持することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半アーベル的スキーム上のセクションは、ファイバー内の捩れ点を無限回満たすが、それらの部分スキームに因数分解されないまま、どのようにして存在しうるか？
• RQ2 このようなセクションの存在は、半アーベル的設定における相対的Manin-Mumford予想を反駁するのか？
• RQ3 ファイバー $ B_\xi $ 内の捩れ点 $ \beta(\xi) \in B_\xi $ の正確な位数は、$ p(\xi) \in E_\xi $ が位数 $ n $ の捩れ点であるときどのように決まるか？
• RQ4 特に捩れの性質とヘッケ軌道の観点から、リビットセクション $ \beta_R $ と新しいセクション $ \beta_J $ の関係は何か？
• RQ5 幾何的に再解釈したとき、この構成は混合志村多様体における特別部分多様体に関するピンの一般予想を支持するのか？

主な発見

• リビット法により構成されたセクション $ \beta $ は、$ q $ も $ \varphi \circ q $ も無限位数であるため、$ B/X $ のいかなる真の閉部分群スキームに対しても因数分解されない。
• イメージ $ Y = \beta(X) $ は、$ p(\xi) $ が $ \mathbb{C} $ 上の無限個の $ \xi \in X(\mathbb{C}) $ に対して $ B_\xi $ の捩れ点であるため、ファイバーの捩れ点に対してザリスキ的に稠密に交わる。
• 奇数で $ \deg((a^2 - 1)(\bar{a} - a)) $ と互いに素な $ n > 1 $ に対して、$ \beta_J(\xi) $ が $ B_\xi $ 内で正確に位数 $ n^2 $ を持つような $ \xi \in X $ が存在する。
• セクション $ \beta_J $ は $ B_\xi $ 内で $ n^2 \beta_J(\xi) = 0 $ を満たし、ワイエル再帰性の計算により $ \left( \frac{g_a(q)}{g_a(-q)} \right)^n = 1 $ が成り立つため、捩れが保証される。
• セクション $ \beta_J $ は混合志村多様体 $ S(\varphi) $ 内で特別点のザリスキ的に稠密な集合を通過するため、ピンの予想を支持する。
• 予想として、差 $ \beta_R - \beta_J $ は単位根であるため、$ \beta_J $ は $ \beta_R(X) $ で定義される特別部分多様体のヘッケ軌道上にある。