[論文レビュー] Special polynomials related to the supersymmetric eight-vertex model. II. Schrödinger equation

Hjalmar Rosengren|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、超対称八頂点模型から生じる対称多項式が、楕円型ポテンシャルを伴う非定常シュレーディンガー方程式を満たすことを確立し、それらが量子Painlevé VI方程式および conformal field theory と関連することを示している。主な結果は、これらの多項式が半周期に特異化された際に、Bäcklund変換を介してPainlevé VIのtau関数を生成することであり、この非線形系の解に対する新しい代数的構成を与える。

ABSTRACT

We show that symmetric polynomials previously introduced by the author satisfy a certain differential equation. After a change of variables, it can be written as a non-stationary Schrödinger equation with elliptic potential, which is closely related to the Knizhnik--Zamolodchikov--Bernard equation and to the canonical quantization of the Painlevé VI equation. In a subsequent paper, this will be used to construct a four-dimensional lattice of tau functions for Painlevé VI.

研究の動機と目的

• 超対称八頂点模型に関連する対称多項式が満たす微分方程式を確立すること。
• これらの多項式が、量子Painlevé VIおよび conformal field theory から知られている楕円型ポテンシャルを伴う非定常シュレーディンガー方程式と関連することを結びつけること。
• この方程式の解を半周期に特異化することで、Painlevé VIのtau関数が得られることを示すこと。
• 微分方程式と行列式恒等式を用いて、多項式のための双線形関係枠組みを構築すること。
• 後の論文でPainlevé VIのtau関数の4次元格子を構築する基盤を築くこと。

提案手法

• 空間 $ \Theta_n^{\mathbf{k}} $ 内の準周期的メラモーフィック関数からの変数変換を用いて、対称多項式 $ T_n^{(\mathbf{k})} $ に対して、楕円型ポテンシャルを伴う非定常シュレーディンガー方程式を導出する。
• m=1 の場合が、$ \hbar=1 $ の量子Painlevé VI方程式に還元されることを示し、ポテンシャルがパラメータ $ k_j(k_j+1)/2 $ を持つワイエルシュトラスの楕円函数の和として特定されることを確認する。
• シュレーディンガー方程式を用いて、特別な点（例：半周期）における $ T_n^{(\mathbf{k})} $ の導関数を $ t $-関数で表し、再帰的構成を可能にする。
• シュレーディンガー方程式と行列式恒等式から導かれる双線形関係を用いて、異なる $ t $-関数を関連付け、再帰的関係を確立する。
• ノルム $ N(\mathbf{k}) = \sum |k_j + 1/2| $ に関する帰納法を用いて、$ t^{(\mathbf{k})} $ を再帰的に構成する。例外的な場合については、対称性と軌道還元を用いて処理する。
• 適切な $ x = \gamma_j $ における特異的挙動を示すシュレーディンガー方程式の解は、特異化によってPainlevé tau関数に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 八頂点模型に関連する対称多項式 $ T_n^{(\mathbf{k})} $ は、楕円型ポテンシャルを伴う非定常シュレーディンガー方程式を満たすか？
• RQ2 このシュレーディンガー方程式の解を半周期に特異化することで、Painlevé VI方程式のtau関数が得られるか？
• RQ3 微分方程式と行列式恒等式から、$ t^{(\mathbf{k})} $-関数間の双線形関係はどのように導かれるか？
• RQ4 m=1 の場合が、このモデルが量子Painlevé VIおよび conformal field theory と結びつく上で果たす役割は何か？
• RQ5 再帰的構成と対称性を用いて、すべての $ \mathbf{k} $ に対して $ t^{(\mathbf{k})} $-関数を体系的に構成する方法は何か？

主な発見

• 対称多項式 $ T_n^{(\mathbf{k})} $ は、楕円型ポテンシャルを伴う非定常シュレーディンガー方程式を満たし、$ m=1 $ の場合、$ \hbar=1 $ の量子Painlevé VI方程式に還元される。
• シュレーディンガー方程式のポテンシャルは、$ V(x,t) = \sum_{j=0}^3 \frac{k_j(k_j+1)}{2} \wp(x - \gamma_j | 1, 2\pi i t) $ で与えられ、ここで $ \gamma_j $ はワイエルシュトラスの楕円函数の半周期である。
• $ x = \gamma_j $ において $ \psi(x) \sim (x - \gamma_j)^{k_j+1} $ と挙動するシュレーディンガー方程式の解は、スケーリングを施した後、半周期に特異化することでPainlevé tau関数に対応する。
• シュレーディンガー方程式と行列式恒等式を用いて、$ t^{(\mathbf{k})} $-関数間の双線形関係が導かれる。2つの明示的な例が提示されている。
• $ N(\mathbf{k}) $ に関する帰納法を用いて、$ t^{(\mathbf{k})} $-関数は再帰的に構成可能であるが、8つの例外的な場合（群作用の下で4つの軌道を形成）を除く。
• すべての $ \mathbf{k} $ に対して $ t^{(\mathbf{k})} $-関数の構成が可能であり、4つの例外的軌道の初期値を適切に選ぶ。この方法は、$ t^{(\mathbf{k})} $ の非消滅性のおかげで、0除算を回避する。