[論文レビュー] Spectral approximation of aperiodic Schrödinger operators

Siegfried Beckus|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 67被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、複素多項式 $ p $ に対する作用素ノルム $ \|p(A_t, A_t^*)\| $ の一様 Hölder 継続性を用いて、スペクトル写像 $ \Sigma: T \to K(\mathbb{C}) $, $ t \mapsto \sigma(A_t) $ の連続性を特徴づけることで、非周期的シュレーディンガー作用素に対するスペクトル連続性を確立する。主な結果として、一般化されたシュレーディンガー作用素のスペクトルが、基礎となる力学系の摂動に対して連続的に変化することを示し、記号的力学系における普遍的力学系と語録構成を用いて周期的作用素による近似が可能であることを明らかにする。

ABSTRACT

We study the (Hölder-)continuous behavior of the spectra belonging to a family of linear bounded operators $(A_t)_{t\in T}$ indexed by a topological space $T$. For the cases of self-adjoint, unitary and normal operators, a characterization of the continuity of $Σ:T o \mathcal{K}(\mathbb{R}), t\mapsto σ(A_t),$ is proven while the distance of the spectra is measured by the Hausorff metric. If $T$ is a metric space, the Hölder-continuous behavior of $Σ$ is characterized for self-adjoint and unitary operators. Here we observe interesting effects, namely the rate of convergence is bisect whenever spectral gaps closes. Based on this, we provide a tool to prove the continuity of the spectra for large classes of operators. In particular, we apply this theory to generalized Schrödinger operators and show that the continuity of the spectra is characterized by the continuous variation of the underlying dynamical systems. Finally, we analyze the existence of periodic dynamical systems approximating a given dynamical system. This leads to periodic approximations of the corresponding Schrödinger operators by the previously developed theory. We prove that local symmetries of the patterns and the presence of a substitution is a sufficient criteria for periodic approximations of subshifts in $\mathbb{Z}^d$. For $d=1$, a characterization is proven for the existence of periodic approximations. For these approaches, the notion of a dictionary is further developed and defined independently of a given configuration. We prove that the set of dictionaries equipped with the local pattern topology is homeomorphic to the space of subshifts. This yields a useful tool to analyze these systems. Furthermore, it delivers the connection of the existence of periodic orbits in a subshift of finite type and the existence of periodic approximations for subshifts.

研究の動機と目的

• 非周期的かつ高次元的な設定における非周期的シュレーディンガー作用素のスペクトル連続性の課題に取り組む。
• 作用素族 $ A_t $ に対するスペクトル写像 $ \Sigma: T \to K(\mathbb{C}) $, $ t \mapsto \sigma(A_t) $ の連続性を特徴づける。
• 力学系の摂動においてスペクトルギャップが開いたり閉じたりしない条件を確立する。
• 一般化されたシュレーディンガー作用素を周期的近似子を用いて近似するための一般的な枠組みを提供する。
• シュレーディンガー作用素のスペクトル的挙動と力学系における不変集合の位相との関係を結ぶ。

提案手法

• 複素数平面のコンパクト部分集合に於けるHausdorff距離を用いて、スペクトルの収束を定義する。
• 複素多項式 $ p $ に対する作用素ノルム $ \|p(A_t, A_t^*)\| $ の一様Hölder連続性を用いて、$ \Sigma $ の連続性を特徴づける。
• 特に [LR01] の枠組みを用いて、連続的場の $ C^* $-代数の結果を応用し、スペクトル連続性と $ C^* $-代数的構造を結びつける。
• 普遍的力学系 $ (X_u, G, \alpha) $ 及びその関連する普遍的群体 $ \Gamma_u $ を構成し、位相的および力学的データを符号化する。
• 記号的力学系における「語録（wordbook）」の概念を導入し、局所的パターンを用いて不変部分集合をパrameter化する。
• Tietzeの定理およびUrysohnの定理を用いてコンパクトな台を持つ連続関数を構成し、近似技法を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素族 $ A_t $ のスペクトル連続性は、作用素ノルムの挙動の観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ2 基礎となる力学系の摂動において、スペクトルギャップが開いたり閉じたりしない条件は何か？
• RQ3 非周期的かつ高次元的な系における一般化されたシュレーディンガー作用素は、収束するスペクトルを持つ周期的作用素で近似可能か？
• RQ4 不変部分集合 $ Y \in IG(X) $ の位相は、$ H_Y $ のスペクトル的挙動とどのように関係するか？
• RQ5 有限型子シフトに周期的要素の稠密な集合が存在することは、周期的作用素によるスペクトル近似に関連するか？

主な発見

• スペクトル写像 $ \Sigma: IG(X) \to K(\mathbb{C}) $, $ Y \mapsto \sigma(H_Y) $ は、複素数平面のコンパクト部分集合に於けるHausdorff距離に関して連続である。
• 不変集合の列 $ Y_n \to Y $ がHausdorff位相で成り立つことと、$ \sigma(H_{Y_n}) \to \sigma(H_Y) $ がHausdorff距離で成り立つことは同値である。
• 記号的力学系の部分シフト上における一般化されたシュレーディンガー作用素は、強い作用素位相で周期的作用素により近似可能である。
• 基礎となる力学系が不変集合のHausdorff位相で収束するとき、スペクトルの収束が保証される。
• 普遍的力学系の構成およびその群体構造により、$ C^* $-代数 $ C^*(A_t, I_t) $ が連続的場の $ C^* $-代数をなすことが保証される。
• スペクトル連続性が成り立つのは、$ C^* $-代数 $ C^*(A_t, I_t) $ が連続的場をなすとき、かつそのときに限る。これは、深い構造的特徴づけを提供する。