[논문 리뷰] Spectral convergence under bounded Ricci curvature

Shouhei Honda|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 19.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 46인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계 리치 곡률을 가진 리만 다양체의 비공 collapse한 그로모프-하우스도르프 수렴에서 1-형식 위의 호지 라플라시안과 텐서 장의 연결 라플라시안에 대해 스펙트럼 수렴을 확립한다. 이는 이러한 연산자의 고유값 수렴을 증명하고, 체적, 지름, 리치 곡률에 대한 새로운 고유값의 경계를 제공하며, 첫 번째 베티 수의 상부 반연속성과 스펙트럼 갭 존재성과의 동치성을 보여준다.

ABSTRACT

For a noncollapsed Gromov-Hausdorff convergent sequence of Riemannian manifolds with a uniform bound of Ricci curvature, we establish two spectral convergence. One of them is on the Hodge Laplacian acting on differential one-forms. The other is on the connection Laplacian acting on tensor fields of every type, which include all differential forms. These are generalizations of Cheeger-Colding's spectral convergence of the Laplacian acting on functions to the cases of tensor fields and differential forms. As a corollary we show the upper semicontinuity of the first Betti numbers with respect to the Gromov-Hausdorff topology, and give the equivalence between the continuity of them and the existence of a uniform spectral gap. We also define the Riemannian curvature tensor, the Ricci curvature, and the scalar curvature of the limit space, and show their properties. In particular the Ricci curvature coincides with the difference between the Hodge Laplacian and the connection Laplacian, and is compatible with Gigli's one and Lott's Ricci measure. Moreover a lower bound of the Ricci curvature is compatible with a reduced Riemannian curvature dimension condition. We also give a positive answer to Lott's question on the behavior of the scalar curvature with respect to the Gromov-Hausdorff topology.

연구 동기 및 목표

• 비공 collapse한 그로모프-하우스도르프 수렴과 균일하게 유계된 리치 곡률 하에서 1-형식 위의 호지 라플라시안과 모든 유형의 텐서 장 위의 연결 라플라시안에 대해 스펙트럼 수렴을 확립하기 위해.
• 이 연산자의 고유값에 대한 체적, 지름, 리치 곡률 유계 조건에 따라 새로운 정량적 경계를 유도하기 위해.
• 그로모프-하우스도르프 수렴 하에서 첫 번째 베티 수의 상부 반연속성을 증명하고, 균일한 스펙트럼 갭 존재성에 의해 그 연속성의 조건을 특성화하기 위해.
• 그로모프-하우스도르프 극한 공간에 대해 측정 가능한 곡률 텐서(리치 곡률 및 스칼라 곡률)를 정의하고, 기존의 정의들(기글리의 정의와 라트의 정의)과의 일관성을 확립하기 위해.
• 제안된 측정 가능한 스칼라 곡률을 사용하여 라트의 질문에 대해 답하기 위해, 즉 그로모프-하우스도르프 수렴 하에서 스칼라 곡률의 행동에 대해.

제안 방법

• 유계 리치 곡률을 가진 리만 다양체의 극한 공간에서 헤시안 연산자의 $L^2$-강한 수렴을 이용하기 위해.
• 일반형식에 대한 보chner 공식과 근사 정리들을 통해 그로모프-하우스도르프 극한 공간 위에 측정 가능한 곡률 텐서를 구성하기 위해.
• 정의된 리치 곡률이 기글리의 리치 곡률과 라트의 리치 측도와 일치함을 $L^p$-강한 곡률 텐서 수렴을 통해 증명하기 위해.
• 낮은 리치 곡률 유계 조건이 $RCD$-조건과 호환됨을 보이기 위해 감소된 리만 곡률 차원 조건을 적용하기 위해.
• 극한 공간의 구조와 $L^2$-강한 수렴을 이용하여 호지 라플라시안과 연결 라플라시안의 스펙트럼 수렴을 증명하기 위해.
• 측정된 그로모프-하우스도르프 수렴과 $RCD$ 공간 이론을 활용하여 고유값 안정성과 베티 수의 행동을 분석하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비공 collapse한 그로모프-하우스도르프 수렴과 유계 리치 곡률 하에서 1-형식 위의 호지 라플라시안과 모든 유형의 텐서 장 위의 연결 라플라시안에 대해 스펙트럼 수렴이 성립하는가?
• RQ2 그로모프-하우스도르프 수렴 하에서 첫 번째 베티 수는 상부 반연속적인가, 그리고 그 연속성은 균일한 스펙트럼 갭 존재성과 동치인가?
• RQ3 유계 리치 곡률을 가진 리만 다양체의 그로모프-하우스도르프 극한 공간에 대해 측정 가능한 리치 곡률 텐서를 정의할 수 있으며, 기글리의 정의와 라트의 정의와 호환되는가?
• RQ4 제안된 스칼라 곡률은 그로모프-하우스도르프 수렴 하에서 연속적으로 행동하는가, 이를 통해 라트의 열린 질문에 대한 답을 줄 수 있는가?
• RQ5 유계 리치 곡률을 가진 비공 collapse한 그로모프-하우스도르프 극한에서 헤시안의 $L^2$-강한 수렴이 유지되는가?

주요 결과

• 균일하게 유계된 리치 곡률을 가진 비공 collapse한 그로모프-하우스도르프 수렴 하에서 1-형식 위의 호지 라플라시안과 모든 유형의 텐서 장 위의 연결 라플라시안은 스펙트럼 수렴을 보인다.
• 첫 번째 베티 수는 그로모프-하우스도르프 위상에 대해 상부 반연속적이며, 그 연속성은 균일한 스펙트럼 갭 존재성과 동치이다.
• 체적, 지름, 리치 곡률 유계 조건에 따라 호지 라플라시안과 연결 라플라시안의 고유값에 대한 새로운 정량적 경계가 도출된다.
• 그로모프-하우스도르프 극한 공간에 대해 측정 가능한 리치 곡률 텐서를 정의하였고, 이는 호지 라플라시안과 연결 라플라시안의 차이와 일치한다.
• 정의된 리치 곡률은 기글리의 리치 곡률과 라트의 리치 측도와 모두 호환되며, 그 하한이 $RCD$-조건과 호환됨을 보였다.
• 논문은 극한 공간에 측정 가능한 스칼라 곡률을 도입함으로써 라트의 질문에 대해 긍정적인 답변을 제시한다.