[論文レビュー] Spectral estimates for Ruelle transfer operators with two parameters and applications

Vesselin Petkov, Luchezar Stoyanov|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ポテンシャル関数のホルダーおよびリプシッツ正則性条件下で、2つの複素数パラメータ $ s $ と $ z $ を持つルイユ転送作用素のスペクトル推定を確立する。垂直方向における作用素ノルムの指数的減衰を証明し、ゼータ関数 $ \zeta(s,z) $ の非ゼロな解析接続を、$ \operatorname{Re}(s) < P_f $ の帯域にまで拡張し、$ s = s(z) $ に単一の極を持つことを示す。これらの結果をハンエ・オゾリオ・デ・アメイダの和公式および重み付き原始周期の漸近的数え上げに応用する。

ABSTRACT

For $C^2$ weak mixing Axiom A flow $\\phi_t: M \\longrightarrow M$ on a Riemannian manifold $M$ and a basic set $\\Lambda$ for $\\phi_t$ we consider the Ruelle transfer operator $L_{f - s \ au + z g}$, where $f$ and $g$ are real-valued H\\"older functions on $\\Lambda$, $\ au$ is the roof function and $s, z$ are complex parameters. Under some assumptions about $\\phi_t$ we establish estimates for the iterations of this Ruelle operator in the spirit of the estimates for operators with one complex parameter (see \\cite{D}, \\cite{St2}, \\cite{St3}). Two cases are covered: (i) for arbitrary H\\"older $f,g$ when $|\\Im z| \\leq B |\\Im s|^\\mu$ for some constants $B &gt; 0$, $0 &lt; \\mu &lt; 1$ ($\\mu = 1$ for Lipschitz $f,g$), (ii) for Lipschitz $f,g$ when $|\\Im s| \\leq B_1 |\\Im z|$ for some constant $B &gt; 0$ . Applying these estimates, we obtain a non zero analytic extension of the zeta function $\\zeta(s, z)$ for $P_f - \\epsilon &lt; \\Re (s) &lt; P_f$ and $|z|$ small enough with simple pole at $s = s(z)$. Two other applications are considered as well: the first concerns the Hannay-Ozorio de Almeida sum formula, while the second deals with the asymptotic of the counting function $\\pi_F(T)$ for weighted primitive periods of the flow $\\phi_t.$

研究の動機と目的

• ホルダーおよびリプシッツ正則性の下で、2つの複素数パラメータ $ s, z \in \mathbb{C} $ を持つルイユ転送作用素 $ L_{f - s\tau + zg} $ に対する一様なスペクトル推定を確立すること。
• ゼータ関数 $ \zeta(s,z) $ の解析接続を、臨界線 $ \operatorname{Re}(s) = P_f $ を超えて拡張し、$ s = s(z) $ に単一の極を持つ非ゼロの接続を証明すること。
• スペクトル推定を用いて、ハンエ・オゾリオ・デ・アメイダの和公式を精緻化し、原始周期の重み付き数え上げ関数 $ \pi_F(T) $ の漸近的推定を得ること。
• 文献 [4], [20], [21] の1パラメータスペクトル推定を、虚数部の成長を制御する条件下で2パラメータ設定に一般化すること。

提案手法

• サブシフト上の懸垂としてのフローをモデル化するため、マークフ・パーティション $ \mathcal{R} = \{R_i\} $ と関連するポアンカレ写像 $ \mathcal{P} $ を用いる。
• 重み $ |b|^{-\epsilon} $ を持つホルダー連続関数上の作用素 $ \mathcal{L}_{abtz} $ を構成し、一様な減衰 $ \|\mathcal{L}_{abtz}^n h\|_{\beta,b} \leq C_3 |b|^\epsilon \rho_1^n $ を保証する。
• パラメータ依存の重みを用いた $ C^\beta $-ノルムを用いて、元のルイユ作用素 $ L_{f - (P+a+ib)\tau + zg} $ を、$ L_{f_t - (P+a+ib)\tau + zg_t} $ の系列により近似する。
• ホルダー連続性を用いて、差 $ |f^n - f_t^n|_\beta $ および $ |g^n - g_t^n|_\beta $ の推定を行い、$ C_4 n a_0 $ で有界とし、$ a_0 \to 0 $ が誤差成長を制御する。
• 虚数部の成長を $ |\operatorname{Im} z| \leq B \operatorname{Im} s|^\mu $、$ \mu < 1 $ で制御し、リプシッツポテンシャルでは $ \mu = 1 $ を用いる。
• スペクトルギャップと指数的減衰 $ \rho_3^n $（$ \rho_3 < 1 $）を、$ |b|^\epsilon $-重みと組み合わせ、$ \|L^n_{f - (P+a+ib)\tau + zg} h\|_{\beta,b} \leq C_8 \rho^n |b|^\epsilon \|h\|_{\beta,b} $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルダー正則性と制御された虚数部成長の下で、2つの複素数パラメータを有するルイユ作用素のスペクトル推定を確立できるか？
• RQ2 力学的ゼータ関数 $ \zeta(s,z) $ は、$ \operatorname{Re}(s) = P_f $ を超えて非ゼロの解析接続を許容するか？その特異性の性質は何か？
• RQ3 スペクトル推定は、Axiom A フローの文脈でハンエ・オゾリオ・デ・アメイダの和公式をどのように精緻化するか？
• RQ4 2つのポテンシャル関数の影響下で、原始周期の重み付き数え上げ関数 $ \pi_F(T) $ の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 作用素ノルムが、$ |\operatorname{Im} z| \leq B |\operatorname{Im} s|^\mu $（$ \mu < 1 $）の条件下で、$ \|L^n_{f - (P+a+ib)\tau + zg} h\|_{\beta,b} \leq C_8 \rho^n |b|^\epsilon \|h\|_{\beta,b} $（$ \rho < 1 $）を満たし、$ n $ に対して一様に成り立つ。
• リプシッツポテンシャルでは、$ |\operatorname{Im} s| \leq B_1 |\operatorname{Im} z| $ の下で推定が成り立ち、両パラメータにわたるスペクトル減衰が一様である。
• ゼータ関数 $ \zeta(s,z) $ は、$ P_f - \epsilon < \operatorname{Re}(s) < P_f $ および $ |z| $ が小さい領域に非ゼロの解析接続を許容し、$ s = s(z) $ に単一の極を持つ。
• スペクトル推定により、$ |b|^\epsilon $-重み付きノルムを用いて誤差項を制御することで、ハンエ・オゾリオ・デ・アメイダの和公式の精緻化が可能となる。
• 重み付き数え上げ関数 $ \pi_F(T) $ の漸近的挙動は、$ \zeta(s,z) $ の解析的性質から導かれる $ \pi_F(T) \sim \frac{e^{P_f T}}{P_f T} $ に従い、低次の補正項を含む。
• 従来の1パラメータスペクトル推定（例：[20], [21]）を、$ s $ および $ z $ の虚数部の成長を明示的に制御する条件下で2パラメータ設定に拡張した。