[論文レビュー] Spectral extrema of graphs with fixed size: cycles and complete bipartite graphs

Mingqing Zhai, Huiqiu Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2021

Graph theory and applications参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、固定サイズ $m$ のグラフが特定の部分グラフ（特にサイクルおよび完全二部グラフ）を含むためのスペクトル的条件を調査する。スペクトル半径 $\rho(G)$ を分析することで、鋭い閾値を確立する：$\rho(G) \geq \sqrt{m}$ ならば、$G$ が星または完全二部グラフでない限り $K_{2,r+1}$ または $C_3^+$, $C_4^+$ を含む。$\rho(G) \geq \frac{1}{2} + \sqrt{m - \frac{3}{4}}$ ならば、ペンタゴンおよびヘキサゴンを含むが、$G$ がブックでない限り。また、$\rho(G) > \frac{1}{2}(k - \frac{1}{2}) + \sqrt{m + \frac{1}{4}(k - \frac{1}{2})^2}$ ならば、すべてのサイクル $C_t$（$t \leq 2k+2$）を含み、極値グラフは完全スプリットグラフとして特定される。

ABSTRACT

Nikiforov [Some inequalities for the largest eigenvalue of a graph, Combin. Probab. Comput. 179--189] showed that if $G$ is $K_{r+1}$-free then the spectral radius $ρ(G)\leq\sqrt{2m(1-1/r)}$, which implies that $G$ contains $C_3$ if $ρ(G)>\sqrt{m}$. In this paper, we follow this direction on determining which subgraphs will be contained in $G$ if $ρ(G)> f(m)$, where $f(m)\sim\sqrt{m}$ as $m ightarrow \infty$. We first show that if $ρ(G)\geq \sqrt{m}$, then $G$ contains $K_{2,r+1}$ unless $G$ is a star; and $G$ contains either $C_3^+$ or $C_4^+$ unless $G$ is a complete bipartite graph, where $C_t^+$ denotes the graph obtained from $C_t$ and $C_3$ by identifying an edge. Secondly, we prove that if $ρ(G)\geq{\frac12+\sqrt{m-\frac34}}$, then $G$ contains pentagon and hexagon unless $G$ is a book; and if $ρ(G)>{\frac12(k-\frac12)+\sqrt{m+\frac14(k-\frac12)^2}}$, then $G$ contains $C_t$ for every $t\leq 2k+2$. In the end, some related conjectures are provided for further research.

研究の動機と目的

• 固定サイズ $m$ のグラフにおける特定の部分グラフ（サイクル、完全二部グラフ）を含むためのスペクトル半径の閾値を同定すること。
• 固定頂点数から固定辺数へのニキフォロフのスペクトル的ツーラン結果の一般化。
• $C_3$, $C_4$, $C_5$, $C_6$, および連続するサイクルに対するスペクトル境界で等号を達成する極値グラフの同定。
• 連続するサイクルの包含および $B_{r+1}$-フリーなグラフに対するスペクトル的条件に関する予想を提示し、裏付けを提供すること。

提案手法

• サイズ $m$ の辺と孤立頂点を含まないグラフの隣接行列のスペクトル半径 $\rho(G)$ を分析する。
• 極値グラフ理論および固有値のインタラーシングを用いて、$\mathcal{F}$-フリーなグラフにおける $\rho(G)$ の上界を導出する。
• ペロン＝フロベニウスの定理および固有ベクトル解析を用いて、スペクトル境界で等号を達成する極値グラフを特徴付ける。
• サイクル包含の閾値に対して極値グラフとして $S_{n,k}$（完全スプリットグラフ）を導入する。
• 関数 $f(A(G)) = A^2(G) - \frac{1}{2}(2k-1)A(G)$ を用いて、列和を通じてスペクトル半径と経路・サイクルの存在を関連付ける。
• パスの極値数に関するレマ 5.1（エルデシュ＝ガライ）を用い、$G[N(j^*)]$ が $P_{2k+1}$ を含むことを示し、これにより $t \leq 2k+2$ に対する $C_t$ の存在が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズ $m$ のグラフにおいて、$K_{2,r+1}$ を含むために必要なスペクトル半径の閾値は何か？
• RQ2 サイズ $m$ のグラフが $C_5$ と $C_6$ を含むために必要なスペクトル的条件は何か？
• RQ3 サイズ $m$ のグラフにおいて、すべてのサイクル $C_t$（$t \leq 2k+2$）を含むために必要なスペクトル境界は何か？
• RQ4 スペクトル境界 $\rho(G) \leq \sqrt{m}$ で等号を達成するグラフはどれか？ ただし、$\{C_3^+, C_4^+\}$-フリーまたは $K_{2,r+1}$-フリーなグラフについて。
• RQ5 $B_{r+1}$-フリーなグラフに対しても、スペクトル半径の閾値 $\sqrt{m}$ が保たれ、等号は完全二部グラフでのみ成立するか？

主な発見

• $\rho(G) \geq \sqrt{m}$ ならば、$m \geq 16r^2$ のとき、$G$ が星でなければ $K_{2,r+1}$ を含む。
• $\rho(G) \geq \sqrt{m}$ ならば、$m \geq 9$ のとき、$G$ が完全二部グラフまたは $S_7^3$, $S_8^2$, $S_9^1$ でなければ、$C_3^+$ または $C_4^+$ を含む。
• $\rho(G) \geq \frac{1}{2} + \sqrt{m - \frac{3}{4}}$ ならば、$m \geq 8$ のとき、$G \cong S_{(m+3)/2, 2}$ でなければ $C_5$ と $C_6$ を含む。
• $\rho(G) > \frac{1}{2}(k - \frac{1}{2}) + \sqrt{m + \frac{1}{4}(k - \frac{1}{2})^2}$ ならば、すべての $t \leq 2k+2$ に対して $C_t$ を含み、$k=2$ のとき等号は $S_{(m+3)/2, 2}$ のみで成立する。
• スペクトル半径 $\rho(G) = \frac{1}{2} + \sqrt{m - \frac{3}{4}}$ を達成する極値グラフは、ブック $S_{(m+3)/2, 2}$ であり、境界のタイトネスが確認される。
• 予想 5.1 は、$\rho(G) \geq \frac{k-1 + \sqrt{4m - k^2 + 1}}{2}$ ならば、$G \cong S_{m/k + (k+1)/2, k}$ でなければすべての $C_t$（$t \leq 2k+2$）を含むと提案し、一般の $k$ に対して結果を拡張する。