[論文レビュー] Spectral geometry of functional metrics on noncommutative tori

Asghar Ghorbanpour, Masoud Khalkhali|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、自己共役な元の滑らかな関数を用いて定義される非可換トーラス上の関数的計量を導入し、$h$-微分作用素を用いてそのスペクトル幾何学を展開する。第二ヒート跡密度の明示的公式を導出し、共形的平坦およびねじれ積計量のすべての次元におけるスカラー曲率と全スカラー曲率を計算するとともに、非可換2次元トーラスにおける一般関数的計量に対するガウス・ボンネの定理を証明する—これにより、共形計量を超えた非可換曲率理論における長年の空白が解消される。

ABSTRACT

We introduce a new family of metrics, called functional metrics, on noncommutative tori and study their spectral geometry. We define a class of Laplace type operators for these metrics and study their spectral invariants obtained from the heat trace asymptotics. A formula for the second density of the heat trace is obtained. In particular, the scalar curvature density and the total scalar curvature of functional metrics are explicitly computed in all dimensions for certain classes of metrics including conformally flat metrics and twisted product of flat metrics. Finally a Gauss-Bonnet type theorem for a noncommutative two torus equipped with a general functional metric is proved.

研究の動機と目的

• 非可換トーラス上の共形的平坦計量に支配されてきた先行研究を超えて、スペクトル幾何学を拡張すること。
• 非可換トーラス代数における自己共役な元の滑らかな関数に基づく、新たな計量クラス—関数的計量—を定義すること。
• これらの計量のすべての次元におけるスカラー曲率や全スカラー曲率などのスペクトル不変量を計算すること。
• 一般関数的計量を備えた非可換2次元トーラスに対して、ガウス・ボンネ型の定理を確立すること—従来の結果を一般化する。

提案手法

• 自己共役な元 $h$ と、$h$ のスペクトル上で正定値である行列値関数 $g_{ij}(h)$ を用いて、計量的構造を定義する関数的計量を導入する。
• 関数および1形式上の内積の変形を $g_{ij}(h)$ を用いて行い、ラプラシアン型の $h$-微分作用素を構成する。これにより、標準ラプラシアンと反ユニタリ同値となることを保証する。
• 非可換トーラス上でのコンネスの擬微分作用素計算を適用し、これらの作用素のヒート跡漸近展開を分析する。
• 作用素の縮約形とニュートン差分商を用いて、記号計算およびスペクトル密度の導出を実行する。
• 再配列補題と $T$-関数を活用し、ヒート跡の第二密度を計算することで、曲率計算を可能にする。
• アインシュタインの和の規約と行列恒等式（ケイリー＝ハミルトンの定理を含む）を用いて、スカラー曲率および全曲率の式を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換トーラス上での非共形計量に対し、スカラー曲率などのスペクトル不変量を計算できるか？
• RQ2 関数的計量に関連するラプラシアン型作用素のヒート跡の第二密度の明示的形は何か？
• RQ3 一般関数的計量（共形的平坦計量に限らない）を備えた非可換2次元トーラスに対して、ガウス・ボンネの定理が成り立つか？
• RQ4 関数的計量、特にねじれ積計量および共形的平坦計量の下で、スカラー曲率および全スカラー曲率は高次元でもどのように振る舞うか？
• RQ5 演算子論的道具を用いて、非可換トーラスのスペクトル幾何学を共形計量を超えて体系的に拡張できるか？

主な発見

• ラプラシアン型 $h$-微分作用素に対して、ヒート跡の第二密度の公式が導出され、共形計量を超える既存の結果が一般化される。
• 共形的平坦およびねじれ積関数的計量のすべての次元において、スカラー曲率密度および全スカラー曲率が明示的に計算される。
• 非可換2次元トーラスでは、曲率行列の反対称性により、すべての関数的計量に対して全スカラー曲率が0となる。これにより、ガウス・ボンネ型の定理が得られる。
• ガウス・ボンネ定理の証明は、行列恒等式と導出関数 $\alpha(t_0,t_1)$ の反対称性に依拠しており、これによりトレースが消える。
• 行列の恒等式と $T$-関数および縮約形記号の使用により、非定数対角成分を有する計量を含む広範な計量クラスに対し、曲率不変量を体系的に計算可能となる。
• $T$-関数と縮約形記号の使用により、高次元における一様化定理の欠如下でも、スペクトル不変量の計算が体系的に行える。