[論文レビュー] Spectral mapping theorem of an abstract quantum walk

Yusuke Higuchi, Etsuo Segawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ジョウコフスキー変換を用いて、ヒルベルト空間上のユニタリな進化作用素 $U$ とその判別自己共役作用素 $T$ のスペクトルを結びつける、抽象的量子ウォークのスペクトル写像定理を確立する。主な結果として、無限グラフへのスペクトル写像定理の拡張がなされ、$\sigma(U) = \varphi^{-1}(\sigma(T)) \cup \{1\}^{M_+} \cup \{-1\}^{M_-}$ が示され、シエルピンスキー格子上のグローバー歩行のスペクトルが純粋点スペクトルであり、カントールに類似した構造を持つことが完全に特定される。

ABSTRACT

Given two Hilbert spaces, $\mathcal{H}$ and $\mathcal{K}$, we introduce an abstract unitary operator $U$ on $\mathcal{H}$ and its discriminant $T$ on $\mathcal{K}$ induced by a coisometry from $\mathcal{H}$ to $\mathcal{K}$ and a unitary involution on $\mathcal{H}$. In a particular case, these operators $U$ and $T$ become the evolution operator of the Szegedy walk on a graph, possibly infinite, and the transition probability operator thereon. We show the spectral mapping theorem between $U$ and $T$ via the Joukowsky transform. Using this result, we have completely detemined the spectrum of the Grover walk on the Sierpiński lattice, which is pure point and has a Cantor-like structure.

研究の動機と目的

• シュツェジ型量子ウォークについて、有限グラフから無限グラフへのスペクトル写像定理の一般化を図ること。
• ジョウコフスキー変換を介して、ユニタリな進化作用素 $U$ とその判別自己共役作用素 $T$ の間の厳密なスペクトル対応を確立すること。
• シエルピンスキー格子上でのグローバー歩行のスペクトルを特定し、それが純粋点スペクトルでありカントールに類似した構造を持つことを示すこと。
• 抽象的ヒルベルト空間作用素を用いて、量子ウォークのスペクトル解析を有限グラフにとどまらず、一般の無限グラフへと拡張すること。
• 量子ウォークのスペクトルと系の確率的長期挙動との関係を明確にすること。

提案手法

• ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上に、$S$ をユニタリな対合作用素、$d_A$ を $\mathcal{K}$ への等等等射とし、抽象的ユニタリ作用素 $U = S(2d_A^*d_A - 1)$ を定義する。
• 判別作用素 $T = d_A S d_A^*$ を $\mathcal{K}$ 上に導入し、これは自己共役な収縮作用素である。
• ジョウコフスキー変換 $\varphi(x) = (x + x^{-1})/2$ を適用し、$U$ と $T$ のスペクトルを $\sigma(U) = \varphi^{-1}(\sigma(T)) \cup \{1\}^{M_+} \cup \{-1\}^{M_-}$ により関連付ける。
• スペクトル理論と関数計算を用いて、点スペクトルおよび連続スペクトルの両方におけるスペクトル対応を導出する。
• 連続スペクトルを解析する際、近似固有関数を構成し、スペクトルの極限における閉包性を用いる。
• この枠組みをシエルピンスキー格子に適用し、グローバー歩行のスペクトルが純粋点スペクトルでありカントールに類似した構造を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ作用素 $U$ と判別作用素 $T$ 間のスペクトル写像定理を、有限グラフから無限グラフへどのように拡張できるか。
• RQ2 無限グラフ上でのグローバー歩行のスペクトルと、それに対応する対称的ランダムウォークのスペクトルとの正確な関係は何か。
• RQ3 シエルピンスキー格子上でのグローバー歩行は局在化を示すか。その場合、スペクトルの性質は何か。
• RQ4 $U$ の固有値 $\pm 1$ はどのように生じるか。また、$d_A$ と $S$ の核を用いて、その重複度はどのように表されるか。
• RQ5 ジョウコフスキー変換を用いて、$T$ の連続スペクトルから $U$ の連続スペクトルを完全に特徴付けられるか。

主な発見

• スペクトル写像定理 $\sigma(U) = \varphi^{-1}(\sigma(T)) \cup \{1\}^{M_+} \cup \{-1\}^{M_-}$ は、有限グラフに限らず、一般の無限グラフに対しても成り立つ。
• シエルピンスキー格子上でのグローバー歩行のスペクトルが純粋点スペクトルであり、カントールに類似した構造を持つことが証明された。
• $U$ の連続スペクトルについて、$\sigma_{\sharp}(U) = \varphi^{-1}(\sigma_{\sharp}(T))$（$\sharp = \text{c, ac, sc}$）が成り立ち、スペクトル対応が連続部分へと拡張された。
• $U$ の固有値 $\pm 1$ の重複度は、$\dim \ker(d_A) \cap \ker(S \pm 1)$ により決定され、固有空間の次元に対する明示的公式が得られた。
• $T$ に連続スペクトルが存在しない（例：$T$ が純粋点スペクトルのみをもつ場合）と、$U$ も純粋点スペクトルのみをもつことが示され、局在化が生じる。
• シエルピンスキー格子では、$T$ が純粋点スペクトルのみをもつため、誘導されるグローバー歩行 $U$ も純粋点スペクトルのみをもち、すべての初期状態に対して局在化が確認された。