[論文レビュー] Spectral Nevanlinna-Pick and Carathéodory-Fejér problems

Николай Николов, Peter Pflug+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スペクトル球体 $\Omega_3$ 上のスペクトルネヴァンリンナ＝ピック問題およびカラテオドリ＝フェージェル問題を、対称化多円板 $\mathbb{G}_3$ 上の補間問題に還元し、スペクトル写像 $\sigma$ を通じて $\mathbb{G}_3$ から $\Omega_3$ への正則写像のリフトの存在について必要十分条件を提示する。主たる結果は、$\varphi \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, \mathbb{G}_3)$ の導関数に関する明示的な解析的条件を確立し、それが与えられた行列値および導関数を満たす正則なリフト $\psi \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, \Omega_3)$ の存在を保証することを示している。

ABSTRACT

The Nevanlinna-Pick problem and the simplest case of the Carathéodory-Fejér problem on the spectral ball $\Om_3$ are reduced to interpolation problems on the symmetrized three-disc $\G_3.$

研究の動機と目的

• $n=2,3$ の $\Omega_n$ 上のスペクトルネヴァンリンナ＝ピック問題（SNPP）を、対称化多円板 $\mathbb{G}_n$ 上の補間問題に還元すること。
• $\varphi \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, \mathbb{G}_n)$ から与えられた $\psi \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, \Omega_n)$ が指定された行列値および導関数を満たす正則リフトの存在を特徴付けること。
• $n=3$ の場合に、このようなリフトの存在に関する $\varphi$ の導関数に基づく必要十分条件を提示すること、特にスカラーでないおよび巡回的行列の場合を含む。
• $\sigma$ を通じたスペクトル写像によるリフトの幾何学的および解析的障害を明らかにすること、特に $\sigma_3$ のゲートー微分との関連を強調すること。

提案手法

• 行列 $A \in \Omega_n$ の固有値の初等対称関数 $\sigma_j(A)$ を用いたスペクトル写像 $\sigma = (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$ を通じて、$\Omega_n$ 上の SNPP を $\mathbb{G}_n$ 上の補間問題に還元すること。
• 類似不変性の利用：$A_j$ が $\tilde{A}_j$ に類似している場合、$\tilde{A}_j$ に対する解が $A_j$ に対しても存在することを示し、コンパニオン行列への還元を可能にする。
• 補間条件およびスカラー行列に対する $P(\alpha_j) = \lambda_j$, $Q(\alpha_j) = 0$ の多項式解を用いて、有理行列関数 $\tilde{\psi}$ を介した正則リフト $\psi$ の構成。
• $e^{f(\zeta)}$ による共役作用を用いて、$\tilde{\psi}$ を元の行列 $A_j$ が $\alpha_j$ で一致するように調整する。ここで $f$ は $A_j = e^{-f(\alpha_j)} \tilde{A}_j e^{f(\alpha_j)}$ を満たす多項式写像である。
• $\varphi^{(k)}(0)$（$k=1,2,3$）に対する明示的条件を導出し、$\psi(0) = A_\mu$, $\psi'(0) = B$ を満たす $\psi$ の存在を保証する。この条件は、$\sigma_3$ の第二および第三ゲートー微分を含む。
• $\Omega_3$ 上の無限小コバヤシ計量 $\kappa_{\Omega_3}(A_\mu; B)$ の分析と、整関数リフトの存在との関係を示し、特定の $B$ の近傍で問題の不安定性を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n=3$ の場合、正則写像 $\varphi \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, \mathbb{G}_3)$ が、$\sigma \circ \psi = \varphi$ かつ $\psi(\alpha_j) = A_j$ を満たす正則リフト $\psi \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, \Omega_3)$ を持つための条件は何か？
• RQ2 補間点における $\varphi$ の導関数は、このようなリフトの存在とどのように関係するか？特に $A_j$ がスカラーまたは非スカラー行列の場合に注目する。
• RQ3 $A_\mu = \operatorname{diag}(0,0,\mu)$ の近傍で、$\varphi$ の可解性を特徴付ける第二階ゲートー微分 $\sigma_3''(A; B)$ の役割は何か？
• RQ4 なぜ特定の方向 $B$ の近傍で問題は不安定になるのか？これは無限小コバヤシ計量の消失とどのように関係するか？
• RQ5 $\varphi$ が導出された条件を満たす場合、$\psi$ の成分に関する可解な方程式系にリフト問題を還元できるか？

主な発見

• $n=2$ の場合、正則写像 $\varphi \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, \mathbb{G}_2)$ が、$A_j = \lambda_j I$ というスカラー行列にマッチする正則リフト $\psi \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, \Omega_2)$ を持つための必要十分条件は、すべての $j$ に対して $\varphi_2'(α_j) = \lambda_j \varphi_1'(α_j)$ が成り立つことである。
• $n=3$ の場合、$\varphi(0) = \sigma(A_\mu)$ および $\varphi'(0) = \sigma'(A_\mu)B$ を満たす正則写像 $\varphi \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, \mathbb{G}_3)$ が、$\psi(0) = A_\mu$, $\psi'(0) = B$ を満たす正則リフト $\psi$ を持つための必要十分条件は、$$\frac{\varphi_3''(0)}{2} = \mu \left| \begin{smallmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{smallmatrix} \right| - \left| \begin{smallmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{31} & b_{32} \end{smallmatrix} \right|$$ であり、これは第二ゲートー微分 $\sigma_3''(A_\mu; B)$ に等しい。
• $B$ が上三角行列で、$b_{12} = 0$, $b_{31} = \mu b_{21}$, $b_{32} = \mu(b_{22} - b_{11})$ を満たす場合、リフトが存在するための必要十分条件は、$$\frac{\varphi_3''(0)}{2} = \mu b_{11}^2$$ および $$\frac{\varphi_3'''(0)}{3!} = b_{11}\left(\frac{\varphi_2''(0)}{2} - b_{11}b_{33}\right)$$ が成り立つことである。
• 整関数リフト $\psi \in \mathcal{O}(\mathbb{C}, \Omega_3)$ が $\psi(0) = A_\mu$, $\psi'(0) = B$ を満たすための必要十分条件は、$\sigma'(A_\mu)B = 0$ かつ $\sigma_3''(A_\mu; B) = 0$ であり、これは $\kappa_{\Omega_3}(A_\mu; B) = 0$ と同値である。この条件は、$B$ の小さな摂動に対して不安定である。
• $\mu = 0$ の場合、$B \in \mathcal{B}_1 \setminus \mathcal{B}_2$ ならば $\kappa_{\Omega_3}(A_0; B) = 0$ であるが、$B \in \mathcal{B}_1 \cap \mathcal{B}_2$ の場合には $\kappa_{\Omega_3}(A_0; B) = |b_{11}| \leq 1$ が必要となる。これは、存在条件に不連続性が生じることを示しており、問題の不安定性を裏付ける。