[論文レビュー] Spectral properties of fractional differentiation operators

Maksim V. Kukushkin|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2017

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、多次元領域における分数階微分作用素の基本的なスペクトル的性質を確立し、それが厳密に累積的かつ領域的であることを証明する。セシュリン形式およびエネルギー空間理論を用いて、Kipriyanov型分数階微分を含む2階作用素の離散的かつコンパクトに埋め込まれた固有値スペクトルを示し、その実部に対する両側固有値推定を導出する。

ABSTRACT

We consider fractional differentiation operators in various senses and show that the strictly accretive property is the common property of fractional differentiation operators. Also we prove that the sectorial property holds for differential operators second order with a fractional derivative in the final term, we explore a location of the spectrum and resolvent sets and show that the spectrum is discrete. We prove that there exists a two-sided estimate for eigenvalues of the real component of operators second order with the fractional derivative in the final term.

研究の動機と目的

• 多次元領域における分数階微分作用素のスペクトル的性質を調査すること。
• Kipriyanov型分数階微分の厳密に累積的かつ領域的性質を確立すること。
• 下位項に分数階微分を含む2階微分作用素の離散的かつコンパクトに埋め込まれたスペクトルを証明すること。
• このような作用素の実部の固有値に対する両側推定を導出すること。
• エネルギー空間およびセシュリン形式理論を用いて、1次元の結果を高次元に拡張すること。

提案手法

• 径数座標および立体角を用いて、n次元領域における方向的分数階積分および微分を定義する。
• 微分作用素に関連するエネルギー空間を定義し、ノルムの同値性を用いてコンパクト埋め込みを確立する。
• Rellich-Kondrashovの定理を適用して、L²(Ω)への埋め込みのコンパクト性を証明する。
• セシュリン形式理論を用いて、作用素のm-累積的および領域的性質を分析する。
• [8]の定理6.29を適用し、コンパクトな解像作用素および離散的スペクトルを結論づける。
• Friedrichs拡張および実部分解を用いて、作用素とその自己随伴および累積的成分との関係を関係付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kipriyanov型分数階微分作用素は、多次元領域において厳密に累積的か？
• RQ2 下位項に分数階微分を含む作用素は、領域的またはm-累積的性質を示すか？
• RQ3 そのスペクトル構造（特に、位置と離散性）はいかなるものか？
• RQ4 作用素の実部の固有値に対して、両側推定を確立できるか？
• RQ5 エネルギー空間技法およびセシュリン形式は、多次元設定におけるスペクトル解析をどのように支援するか？

主な発見

• Kipriyanov型分数階微分作用素は、α ∈ (0,1) に対して L₂(Ω) で厳密に累積的である。
• 作用素は領域的であり、その数値範囲は右半平面内の領域に含まれる。
• 作用素の実部は離散的スペクトルを持ち、その固有値は両側推定を満たす。
• 作用素に関連するエネルギー空間は L₂(Ω) にコンパクトに埋め込まれており、コンパクトな解像作用素を示唆する。
• 作用素 L̃（Friedrichs拡張）はm-累積的であり、コンパクトな解像作用素を持ち、結果として離散的スペクトルを持つ。
• n ≥ 2 におけるスペクトル結果は、還元およびMarchaud作用素に関する既知の結果を用いて1次元の場合に拡張可能である。