[論文レビュー] Spectral properties of hierarchical lattices and iteration of rational maps

Christophe Sabot|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな複素多様体上の有理自己写像としての新規な正規化写像を導入し、自己相似的で有限分岐な格子（例えばシエルピンスキーのギャスケット）上の離散ラプラシアン作用素のスペクトル性質を研究する。密度関数の明示的公式を、写像のグリーンカレントを用いて導出し、写像の不定点が、非有界格子上でのコンパクトに台を持つ固有関数に対応するノイマン＝デイリーブ固有値に関連することを示している。

ABSTRACT

In this text we are interested in spectral properties of discrete Laplace operators defined on lattices based on finitely-ramified self-similar sets. The basic example is the lattice based on the Sierpinski gasket. We introduce a new renormalization map which appears to be a rational self-map of a compact complex manifolds. We relate some characteristics of its dynamics with some characteristics of the spectrum of our operator. More specifically, we give an explicite formula for the density of states in terms of the Green current of the map, and we relate the indeterminacy points of the map with the so-called Neuman-Dirichlet eigenvalues which lead to eigenfunctions with compact support on the unbounded lattice. Depending on the asymptotic degree of the map we can prove drastic different spectral properties of the operator. Hence, this work aims at a generalization and a better understanding of the initial work of physisits Rammal and Toulouse on the Sierpinski gasket (cf [31], [30]).

研究の動機と目的

• 自己相似的格子上のラプラシアン作用素のスペクトル解析を、シエルピンスキーのギャスケットを越えて一般化すること。
• 正規化写像の力学的特性と作用素のスペクトル的特徴の間の関係を理解すること。
• 写像の不定点を通じて、コンパクトに台を持つ固有関数の出現を説明すること。
• 正規化写像の漸近的次数が、スペクトル挙動における顕著な変化にどのように影響するかを特定すること。
• 写像の幾何的不変量を用いて、密度関数の明示的公式を提示すること。

提案手法

• シエルピンスキーのギャスケットなどの、有限分岐な自己相似的格子上に離散ラプラシアン作用素を定義する。
• コンパクトな複素多様体上の有理自己写像として、新たな正規化写像を構成する。
• この写像の力学的性質を用いて、ラプラシアン作用素のスペクトル的性質を分析する。
• 密度関数を、有理写像に関連するグリーンカレントの積分として表現する。
• 写像の不定点を、ノイマン＝デイリーブ固有値を示すものとして同定する。
• 写像の漸近的次数を分析し、スペクトルの定性的な変化を予測する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似的格子上の離散ラプラシアン作用素のスペクトル的性質は、正規化写像の力学とどのように関連するか？
• RQ2 正規化写像のグリーンカレントと密度関数の正確な関係は何か？
• RQ3 写像の不定点は、コンパクトに台を持つ固有関数に対応する固有値とどのように関係するか？
• RQ4 写像の漸近的次数は、全体的なスペクトル構造にどのような影響を及えるか？
• RQ5 ラマルとトゥールーズによるシエルピンスキーのギャスケットに関する初期の発見は、この力学的枠組みを用いて一般化可能か？

主な発見

• 密度関数は、正規化写像のグリーンカレントを用いて明示的に表現される。
• 有理写像の不定点は、非有界格子上でのコンパクトに台を持つ固有関数をもたらすノイマン＝デイリーブ固有値に対応する。
• 正規化写像の漸近的次数は、ラプラシアン作用素のスペクトル的性質における定性的な差を決定づける。
• 本フレームワークは、ラマルとトゥールーズによるシエルピンスキーのギャスケットに関する先行研究を一般化し、深く理解を促進する。
• 作用素のスペクトル的特性は、基礎となる有理写像の幾何的および力学的不変量と直接的に関連している。
• 本手法は、さまざまな有限分岐な自己相似的格子におけるスペクトル挙動を統一的に研究するための有効なアプローチを提供する。