[論文レビュー] Spectral theory of pseudo-differential operators of degree 0 and application to forced linear waves

Yves Colin de Verdìère|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 31被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体上の0次自己共役擬微分作用素のスペクトル理論を、Mourre理論と逃げ関数を用いて、強制線形波動方程式の解の長時間挙動を分析することで展開する。主な貢献は、Gàrding不等式を用いた、逃げ関数の存在に関する明確な力学的条件の同定であり、表面（n=2）における一般のMorse-Smaleの場合の漸近解の波フロント集合の完全な記述であり、[CSR-18]の先行結果を拡張する。

ABSTRACT

We extend the results of our paper "Attractors for two dimensional waves with homogeneous Hamiltonians of degree 0" written with Laure Saint-Raymond to the case of forced linear wave equations in any dimension. We prove that, in dimension 2,if the foliation on the boundary at infinity of the energy shell is Morse-Smale, we can apply Mourre's theory and hence get the asymptotics of the forced solution. We also characterize the wavefrontsets of the limit Schwartz distribution using radial propagation estimates.

研究の動機と目的

• 2次元多様体上の一般のMorse-Smaleの場合への0次擬微分作用素のスペクトル理論の拡張。
• Gàrding不等式を用いて、全空間における逃げ関数の存在に関する必要十分力学的条件の確立。
• スペクトル理論と径方向伝播推定を用いて、強制線形波動方程式の解の長時間挙動の分析。
• 特定の力学的構造を有するコンパクト多様体における、t → ∞ の極限における漸近解の波フロント集合の記述。
• 3次元多様体におけるS^1対称性を有する系における、強制慣性波または内部波の物理的応用の検討。

提案手法

• 自己共役作用素Hのスペクトル性質と強制波動方程式の解の挙動との関係を、スペクトル定理を用いて関連付ける。
• ハミルトニアン力学に基づく、全空間における逃げ関数の構成を通じてMourre理論を適用する。
• Gàrding不等式を用いて、無限遠における明確な力学的条件下で、正定値の逃げ関数の存在を保証する。
• MelroseとVasyによる径方向伝播推定を用い、漸近解u_∞の波フロント集合をL^2空間内で特定する。
• 問題をエネルギー殻Σ_ω = h^{-1}(ω)に還元し、Z_ω = Σ_ω / ℚ^+ 上の誘導されたファイブレーションを研究する。
• S^1対称性を有する3次元多様体の状況を分析し、回転系における強制波動の物理的モデルに関連する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0次記号のハミルトニアン流れにどのような力学的条件が満たされると、Mourre理論に適した全空間における逃げ関数が存在するか？
• RQ2 2次元表面における一般のMorse-Smaleの場合に、t → ∞ の極限における漸近解u_∞の波フロント集合はどのように振る舞うか？
• RQ3 Poincaré写像が双曲性を失う場合を含め、絶対連続スペクトルを有する区間を超えて、作用素Hのスペクトル像を拡張できるか？
• RQ4 粘性項をラプラシアン項として追加した場合、小粘性極限σ → 0^+ における強制波動方程式の解はどのように振る舞うか？
• RQ5 多様体上の微分同相写像（例えば、円周上の無理数回転）のスペクトル理論は、Mourre理論のユニタリ版とどのように関連するか？

主な発見

• Gàrding不等式に基づき、無限遠における力学的性質を用いて、全空間における逃げ関数の存在に関する必要十分条件が導出された。
• 2次元表面における一般のMorse-Smaleの場合に、径方向伝播推定を用いて、漸近解u_∞の波フロント集合が正確に特定された。
• 作用素Hの本質的スペクトルが、主記号hの最小値h_-と最大値h_+の間の区間[h_-, h_+]に等しいことが示された。
• S^1対称性を有する3次元多様体では、本手法は回転流体における強制慣性波などの物理的系に適用可能である。
• 漸近解u(t)は、L^2空間において有界関数を modulo して、波フロント集合がハミルトニアン流れとZ_ω上のファイブレーションに依存する分布u_∞に収束する。
• 本稿では、粘性強制波動方程式において、極限t → ∞ と小粘性極限σ → 0^+ が一般には可換でないことが確立された。