[論文レビュー] Spectral Theory of Substitutions in $\mathbb{Z}^d$

Alan Bartlett|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2014

semigroups and automata theory参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、置換規則の行列表現に基づく新規アルゴリズムを用いて、非周期的 $ζ^d$ 置換のスペクトル理論を発展させ、$L^2$ 上の平行移動作用素の最大スペクトル型を、互いに特異な純粋型の測度の族として特徴づける。非周期的双射可換 $ζ^d$ 置換のスペクトルが特異的であることを証明し、Queffélec の非可換双射置換およびテーブルタイリングについても、未解決であった特異性の問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper, we generalize and develop results of Queffelec allowing us to characterize the spectrum of an aperiodic substitution in $\mathbb{Z}^d$ by describing the Fourier coefficients of mutually singular measures of pure type giving rise to the maximal spectral type of its Koopman representation. We note that this is done without the assumptions of primitivity or trivial height, and provides a simple algorithm for determining singularity to Lebesgue spectrum for such substitutions. This is used to show that the spectrum of any aperiodic bijective and commutative $\mathbb{Z}^d$ substitution on a finite alphabet is purely singular. Additionally, we use the algorithm to show singularity of the spectrum for Queffelec's noncommutative bijective substitution, as well as the Table tiling, answering an open question of Solomyak.

研究の動機と目的

• 1次元置換の Queffélec のスペクトル理論を高次元 $ζ^d$ 置換へ一般化すること。
• 原始性や高さ条件を仮定せずに、$L^2$ 上の平行移動作用素の最大スペクトル型を特徴づけること。
• 非周期的 ${\mathbf{q}}$-置換のスペクトル成分（離散的、特異的連続的、絶対連続的）を計算可能なアルゴリズムで決定すること。
• 准結晶モデルにおけるスペクトル特異性に関する未解決問題を解消すること、特に Queffélec の非可換双射置換およびテーブルタイリングについて。
• コンパクト距離空間上のエルゴード的行列値測度の対角化結果を確立し、スペクトル解析の基礎的道具として用いること。

提案手法

• 置換を、命令行列 ${\mathcal{R}}_{\mathbf{j}}$、置換行列 $M_{\mathcal{S}}$、およびクロンネッカー積を用いて定義される一致行列 $C_{\mathcal{S}}$ を用いた行列代数で表現する。
• スペクトルホイール ${\mathcal{K}}({\mathcal{S}})$ を、$C_{\mathcal{S}}$ の強正の左 $Q$-固有ベクトルで、正規化および正性制約を満たすものとして定義する。
• ${\mathbf{q}}$-進算術および再帰的置換の逆操作を用い、相関測度 $\widehat{\Sigma}({\mathbf{k}})$ を一般化された命令 ${\mathcal{R}}_{\mathbf{j}}^{(n)}$ を用いて再帰的に表現する。
• スペクトルホイール ${\mathcal{K}}^*$ のベクトルを用いて、相関測度 $\sigma_{\alpha\beta}$ の線形結合としてスペクトル測度を構成し、純粋型成分が互いに特異的であることを保証する。
• エルゴード的行列値測度の対角化定理を適用し、最大スペクトル型を純粋スペクトル成分に分解する。
• 認識可能性および非周期性を活用し、スペクトルホイールが冗長性を伴わずに完全なスペクトル分解を捉えていることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非周期的 $ζ^d$ 置換のスペクトル型は、原始性や自明な高さを仮定せずに特徴づけられるか？
• RQ2 ${\mathbf{q}}$-置換のスペクトルの離散的、特異的連続的、絶対連続的成分を計算するアルゴリズム的手順は何か？
• RQ3 Queffélec の非可換双射 $ζ^d$ 置換のスペクトルは、予想されたように純粋に特異的連続的か？
• RQ4 有名な非周期的タイリングであるテーブルタイリングは、Solomyak が提起した未解決問題として、特異的連続的スペクトルを持つのか？
• RQ5 コンパクト距離空間上の任意のエルゴード的行列測度は対角化可能であり、その結果がスペクトル解析にどのように寄与するか？

主な発見

• 非周期的 ${\mathbf{q}}$-置換の最大スペクトル型 $\sigma_{\text{max}}$ は、互いに特異な純粋型の測度の族に分解され、それぞれがスペクトルホイール ${\mathcal{K}}^*$ の極点に対応する。
• スペクトルホイール ${\mathcal{K}}({\mathcal{S}})$ は、$C_{\mathcal{S}}^t{\mathbf{v}} = Q{\mathbf{v}}$ の解として明示的に特徴づけられ、${\mathbf{v}} \gg 0$ かつトレースが正規化されていることから、正性およびスペクトルの純粋性が保証される。
• すべての非周期的双射可換 ${\mathbf{q}}$-置換のスペクトルは、純粋に特異的連続的であることが示され、準結晶スペクトル理論における重要なケースが解決された。
• 本稿のアルゴリズムは、Queffélec の非可換双射置換およびテーブルタイリングについても特異性を明確に証明し、Solomyak の未解決問題を解決した。
• 本稿では、コンパクト距離空間上の任意のエルゴード的行列測度が対角化可能であることが確立され、スペクトル分解の基礎的結果が得られた。
• スペクトル測度のフーリエ係数は、再帰的公式 $\widehat{\Sigma}({\mathbf{k}}) = \frac{1}{Q^n} \sum_{{\mathbf{j}} \in [{\mathbf{0}}, {\mathbf{q}}^n)} {\mathcal{R}}_{\mathbf{j}}^{(n)} \otimes {\mathcal{R}}_{{\mathbf{j}}+{\mathbf{k}}}^{(n)} \widehat{\Sigma}(\lfloor{\mathbf{j}}+{\mathbf{k}}\rfloor_n)$ を用いて計算可能であり、明示的なスペクトル計算が可能になる。