[論文レビュー] Spiders in random environment

Christophe Gallesco, Sebastian Müller+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Z 上のランダム環境下で独立したランダムウォークを実行するN個の相互作用粒子からなるスパイダーの速度を研究し、環境の尾挙動から導かれる臨界指数κを用いて、κ/N > 1 であるときかつそのときに限りスパイダーの速度が正であることを示している。モデルは移行列、非可約な相互作用ルールを有し、クエンチドおよびアンネールド分布を用いて長期的挙動を分析し、脚の数と環境の性質に起因する速度の相転移を明らかにしている。

ABSTRACT

A spider consists of several, say $N$, particles. Particles can jump independently according to a random walk if the movement does not violate some given restriction rules. If the movement violates a rule it is not carried out. We consider random walk in random environment (RWRE) on $\Z$ as underlying random walk. We suppose the environment $\omega=(\omega_x)_{x \in \Z}$ to be elliptic, with positive drift and nestling, so that there exists a unique positive constant $\kappa$ such that $\E[((1-\omega_0)/\omega_0)^{\kappa}]=1$. The restriction rules are kept very general; we only assume transitivity and irreducibility of the spider. The main result is that the speed of a spider is positive if $\kappa/N>1$ and null if $\kappa/N<1$. In particular, if $\kappa/N <1$ a spider has null speed but the speed of a (single) RWRE is positive.

研究の動機と目的

• ランダム環境下でZ上でランダムウォークを実行するスパイダー（N個の相互作用粒子）の長期的速さを分析すること。
• 単一のランダムウォークが正の速さを示すにもかかわらず、スパイダーが正またはゼロの速さを示す条件を特定すること。
• 環境の尾分布から導かれるκを用いて、スパイダーの速さにおける相転移を確立すること。
• 制限ルールを伴う相互作用粒子のケースに、ランダムウォークにおけるボールスティシティの結果を拡張すること。
• 単一RWREとスパイダーの挙動の間の矛盾を解消すること。後者は、前者がボールスティックであってもゼロの速さを示すことがある。

提案手法

• 状態空間V = ∪x∈Z Lx 上の連続時間マコフ過程としてスパイダーをモデル化し、ここでLは位置0における有限な局所的配置の集合である。
• 環境ωx ∈ (0,1) に基づく遷移率を定義し、距離ルールによって制限されない限り、粒子は独立に移動する。
• 許可された遷移を符号化するためのスパイダーグラフG(ω) = (V, E(ω))を用いる。E(ω)は正の遷移率によって決定される。
• x > 0に対してV(x) = ∑i=0x−1 ln(ωi−/ωi+) をポテンシャル関数と定義し、シナのRWRE理論の中心的役割を果たす。
• クエンチドおよびアンネールド分布を用いる：固定環境ωに対するPxω、およびPx = ∫ Pxω dPによる平均化された挙動。
• 停止時刻Tとτ0を用いて初到達時刻および帰還時刻を分析し、埋め込まれたジャンプ連鎖にバーキホフのエルゴディック定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N本の脚を持つスパイダーがランダム環境下で正の速さを示す条件は何か？
• RQ2 なぜ同じ環境下で単一のランダムウォークがボールスティックであるにもかかわらず、スパイダーはゼロの速さを示すことがあるのか？
• RQ3 E[(ρ0)κ] = 1 で定義される臨界指数κ（ρ0 = ω0−/ω0+）は、スパイダーの速さをどのように規定するか？
• RQ4 脚の数Nは、スパイダーのボールスティック挙動にどのように寄与するか？
• RQ5 スパイダーの速さは、局所的配置集合Lの構造に依存するのか、それともκ/Nにのみ依存するのか？

主な発見

• スパイダーの速さは、P-ほとんど確実にκ/N > 1 であるときかつそのときに限り正である。ここでκはE[(ρ0)κ] = 1 の一意な解である。
• κ/N < 1 のとき、単一のRWREが正の速さを示すにもかかわらず、スパイダーの速さはP-ほとんど確実にゼロである。
• κ/N > 1 のとき、速さはv = E[S1(T)] / E[T] > 0 で与えられ、Tは移動された初期配置への最初の帰還時刻である。
• 臨界ケースκ/N = 1 については未解決であるが、著者らはこの場合に速さがゼロであると予想している。
• 結果は特定の局所的配置集合Lに依存せず、Nとκにのみ依存する。
• 証明は、環境のポテンシャルおよびバレー構造を用いて帰還確率を制御するための、初到達時刻の大偏差推定に依存している。