[論文レビュー] Spin representations and centralizer algebras for the Spinor groups

Kazuhiko Koike|ArXiv.org|Feb 18, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スピン表現 Δ とベクトル表現 V のテンソル積 Δ ⊗ ⨂^k V に作用するスピン群 Pin(N) の中心化代数を構成することにより、シュール＝ウェイル双対性のスピン群版を確立する。一般化されたブラウアー図でパrameter化される2つの基底（不変理論および表現論的アプローチ）を導入し、それらの変換行列を特定し、対称群 𝔖_k と Spin(N) がトレースレス部分空間 T_{k,s}^{0,±} で双対対をなすことを証明する。これにより、既約スピン表現の多重度なし分解が得られる。

ABSTRACT

We pursue an analogy of the Schur-Weyl reciprocity for the spinor groups and pick up the irreducible spin representations in the tensor space $Δ extstyle{\bigotimes \bigotimes^k V}$. Here $Δ$ is the fundamental representation of $Pin(N)$ and $V$ is the natural (vector) representation of the orthogonal group O(N). We consider the centralizer algebra $\mathbf{CP_k} = Pin(N)(Δ extstyle{\bigotimes \bigotimes^k V})$ for $Pin(N)$, the double covering group of O(N) and define two kinds of linear basis in $\mathbf{CP_k}$ (one comes from invariant theory and the other from representation theory), both of which are parameterized by the 'generalized Brauer diagrams'. We develop analogous argument to the original Brauer centralizer algebra for O(N) and determine the transformation matrices between the above two basis and give the multiplication rules of those basis. Finally we define the subspaces in $Δ extstyle{\bigotimes \bigotimes^k V}$, on which the symmetric group $\frak{S}_k$ and $Pin(N)$ or $Spin(N)$ act as a dual pair.

研究の動機と目的

• Pin(N) および Spin(N) に対してシュール＝ウェイル双対性のスピン群版を構築すること。
• 中心化代数 𝒞𝒫_k = End_{Pin(N)}(Δ ⊗ ⨂^k V) を定義し、その性質を調査すること。
• 不変理論および表現論的アプローチを用いて、一般化されたブラウアー図でパrameter化される2つの異なる基底を構成すること。
• 𝔖_k と Spin(N) が双対対をなし、多重度なし分解をもたらす部分空間 T_{k,s}^{0,±} を特定すること。

提案手法

• 一般化されたブラウアー図を、k 個の上部頂点と l 個の下部頂点を持ち、頂点同士を結ぶ辺（ループを含まない）と孤立頂点を許すグラフとして定義する。
• 中心化代数 𝒞𝒫_k^l = Hom_{Pin(N)}(Δ ⊗ ⨂^k V, Δ ⊗ ⨂^l V) に対して、2つの基底を構成する：不変理論的基底（d_{\text{inv}}）と表現論的基底（d_{\text{rt}}）。
• 定理 7.2 および定理 7.6 で、2つの基底間の変換行列を明示的に確立する。
• 定理 8.1 で基底元の乗法則を導出し、パrameter N = X を用いた一般化された中心化代数の定義を可能にする。
• 部分空間 T_{k,s}^0 を、Δ への射影、縮約、および次数 > s の交代作用素の核の共通部分として定義し、古典的なトレースレステンソル空間を一般化する。
• Δ ⊗ ⨂^k V 上の作用素 A ⊗ id を導入し、その空間を ±1 の固有空間に分解することで、T_{k,s}^{0,±} を定義する。この空間は A ⊗ id に対して安定である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規直交群のシュール＝ウェイル双対性を、Pin(N) や Spin(N) のようなスピン群へどのように拡張できるか？
• RQ2 中心化代数 𝒞𝒫_k = End_{Pin(N)}(Δ ⊗ ⨂^k V) の構造は何か？ そして、どのようにパrameter化できるか？
• RQ3 不変理論的および表現論的アプローチから得られる2つの基底は、𝒞𝒫_k 内でどのように関係しているか？
• RQ4 𝔖_k と Spin(N) が双対対をなし、多重度なし分解をもたらす部分空間は何か？
• RQ5 作用素 A ⊗ id は、既約スピン表現を区別し、中心化代数の ± 固有空間を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 中心化代数 𝒞𝒫_k^l は、一般化されたブラウアー図でパrameter化される2つの基底を持つ。1つは不変理論的基底、もう1つは表現論的基底であり、N = 2n もしくは 2n+1 のとき k, l ≤ n であれば両方有効である。
• 定理 7.2 および定理 7.6 で、2つの基底間の変換行列が明示的に計算され、不変理論的要素と表現論的要素の間の明確な線形関係が示された。
• 定理 8.1 で基底元の乗法則が導出され、N = X（不定元）と置くことで、一般化された中心化代数の構成が可能になった。
• 部分空間 T_{k,s}^{0,±} は A ⊗ id に対して安定であり、𝔖_k および Spin(N) によっても不変である。各成分で 𝔖_k と Spin(N) は双対対をなす。
• T_{k,s}^{0,±} の分解は多重度なしである：T_{k,s}^{0,\pm} \cong \bigoplus_{\substack{\lambda \vdash k \\ \ell(\lambda) \leq s}} \lambda_{\mathfrak{S}_k} \otimes (1/2 + \lambda)^{\pm}_{\mathrm{Spin}(2n)} であり、λ_{\mathfrak{S}_k} は既約 𝔖_k-加群、(1/2 + λ)^{\pm}_{\mathrm{Spin}(2n)} は既約スピン表現である。
• O(2n) や SO(2n) から引き継がれない、Spin(2n) の既約スピン表現は、ある k に対して T_{k,s}^{0,±} 上での双対対作用を通じて、Δ ⊗ ⨂^k V 内のヤング射影子の像として実現される。