[論文レビュー] Splitting of operads and Rota-Baxter operators on operads

Jun Pei, Chengming Bai+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意のoperadにおける操作の分割を一様に扱う枠組みを導入し、dendriform代数やtridendriform代数を一般化する。二項演算を超える分割構造を定義することで、operad上のRota-Baxter作用素とその分割構造の深い関係を確立し、古典的な構成を統一的に扱う。任意のdendriform代数が一般化されたoperad的枠組みにおける相対Rota-Baxter作用素から生じることを証明する。

ABSTRACT

This paper establishes a uniform procedure to split the operations in any algebraic operad, generalizing previous known notions of splitting algebraic structures from the dendriform algebra of Loday that splits the associative operation to the successors that split any binary operad. Examples are provided for various $n$-associative algebras, $n$-Lie algebras, $A_\infty$ algebras and $L_\infty$ algebras. Further, the concept of a Rota-Baxter operator, first showing its importance in the associative and Lie algebra context and then generalized to any binary operads, is generalized to arbitrary operads. The classical links from the Rota-Baxter associative algebra to the dendriform algebra and its numerous generalizations are further generalized and unified as the link from the Rota-Baxter operator on an operad to the splitting of the operad. Finally, the remarkable fact that any dendriform algebra can be recovered from a relative Rota-Baxter operator is generalized to the context of operads with the generalized notion of a relative Rota-Baxter operator for any operad.

研究の動機と目的

• 二項operadから任意の混合アリティを有するoperadへの操作の分割概念を一般化すること。
• dendriform、tridendriform、pre-Lie代数といった既知の分割構造を、一様な構成に基づく枠組みで統一すること。
• Rota-Baxter作用素を任意のoperadへ一般化し、その分割構造との関係を確立すること。
• 古典的な結果（dendriform代数が相対Rota-Baxter作用素から生じる）を、一般化された相対Rota-Baxter作用素の概念を用いて任意のoperadへ拡張すること。
• 平面木と構成要素を用いた関手的かつ代数的特徴付けを通じて、分割の定式化と分類を行うこと。

提案手法

• ラベル付き平面木上の構成要素の概念を導入し、operad全体にわたる一様な分割パターンを定義する。
• 新しいoperad構成 $\mathcal{C}\mathrm{Sp}(\mathcal{P})$ を用いて、operadのアリティ分割を定義する。これは、後続および三重後続構成を一般化する。
• 元のoperadの作用素から分割operadの作用素へのリフト写像 $\widetilde{\tau}$ を構成し、代数的関係を保存する。
• 分割構造を用いてoperad上のRota-Baxter作用素を定義し、可換代数やリー代数における古典的Rota-Baxter作用素を一般化する。
• operad上の相対Rota-Baxter作用素の概念を導入し、可換代数からの古典的構成を一般化する。
• 任意の $\mathcal{P}$-代数に重み1の相対 $\mathcal{C}$-Rota-Baxter作用素が存在する場合、分割構成により $\mathcal{C}\mathrm{Sp}(\mathcal{P})$-代数構造が誘導されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二項操作（例：dendriform代数）の分割は、非二項的および混合アリティを有するoperadへどのように一般化できるか？
• RQ2 dendriform、tridendriform、pre-Lie代数といったさまざまな分割構造が、異なるoperadにおいて一貫して統一されるための明確な代数的構造は何か？
• RQ3 operad上のRota-Baxter作用素は、operad的枠組みにおける操作の分割とどのように関係するか？
• RQ4 古典的なdendriform代数が相対Rota-Baxter作用素から生じる構成を、任意のoperadへ一般化できるか？
• RQ5 平面木と構成要素は、operadの分割の定式化と分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、ラベル付き平面木上の構成要素を用いた一様な分割手続きを任意のoperadに対して構築し、二項の場合を一般化する。
• $Dend_{\infty}$ は $A_{\infty}$ のアリティ分割として実現され、$PL_{\infty}$ は $L_{\infty}$ のアリティ分割として実現される。
• operad上のRota-Baxter作用素は、そのoperadの分割を誘導する。これは、Rota-Baxter代数とdendriform代数の既知の関係を一般化する。
• 相対Rota-Baxter作用素の構成により、$\mathcal{P}$-代数は $\mathcal{C}\mathrm{Sp}(\mathcal{P})$-代数構造を有するようになる。これは、古典的なdendriform代数の回復を一般化する。
• 分割プロセスは代数的関係を保存する：$A$ が $\mathcal{P}$-代数であり、$\mathrm{id}: A \to A$ が重み1の相対 $\mathcal{C}$-Rota-Baxter作用素であれば、$A$ は $\mathcal{C}\mathrm{Sp}(\mathcal{P})$-代数構造を有する。
• この枠組みは、$n$-可換代数、$n$-リー代数、$A_{\infty}$/$L_{\infty}$ 代数といったさまざまな分割を、一つのoperad的メカニズムで統一的に扱う。