[論文レビュー] Squares and Cubes Modulo n

Steven R. Finch, Pascal Sebah|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2006

Mathematics and Applications参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ディリクレ級数にセルバーグ＝デルange法を適用することで、nを法とする平方数、立方数、単位根の漸近的分布を調査する。ℤₙおよびℤₙ*における平方剰余、立方剰余、およびx² ≡ 1 mod n や x³ ≡ 0 mod n などの方程式の解の平均個数について、ζ(2)、π、および等差数列における素数に関するオイラー積を含む明示的定数を伴う正確な漸近公式を導出する。

ABSTRACT

We study the asymptotics of the average number of squares (or quadratic residues) in Z_n and Z_n^*. Similar analyses are performed for cubes, square roots of 0 and 1, and cube roots of 0 and 1.

研究の動機と目的

• 任意のnに対してℤₙおよびℤₙ*における平方数、立方数、および特別な解（例：x² ≡ 1）の平均個数を体系的に分析すること。
• 標準的参考文献に容易に入手できない、これらの平均個数に関する明示的漸近公式を提供することで、文献における空白を埋めること。
• 算術級数上の算術関数に、セルバーグ＝デルange法およびディリクレ級数技法を適用する応用を示すこと。
• 特に3および8を法としての素数の等差数列におけるオイラー積の数値定数を計算・文書化すること。
• 特徴関数の和およびL関数を用いた高精度な計算フレームワークを統合的に提供すること。

提案手法

• ℤₙ*における要素数の漸近的個数を導出するため、ディリクレ級数∑ φ(n)/n^{s+1} にセルバーグ＝デルange法を適用する。
• 乗法的関数およびオイラー積を用いて、x² ≡ 1 mod n および x³ ≡ 1 mod n の解の個数を、異なる素因数の個数ω(n)の関数としてモデル化する。
• k = 2^m または 3^m を法とするディリクレ指標を導入することで、算術級数に適応し、n ≡ ℓ mod k を分離する。
• ディリクレL級数L_χ(s)および関連生成関数F_χ(s) = G_χ(s) · L_χ(s)^z を構築し、解の漸近的密度をモデル化する。
• ヒルベルトゼータ関数およびモービウス反転を用いて、対数和P_{k,ℓ}(s) = ∑_{p≡ℓ mod k} log(1 - f(p)/p^s) を計算し、無限積の高精度評価を可能にする。
• 級数展開および切り捨てを用いた数値加速により、収束性を向上させ、既知の初期項（例：p = 31まで）を差し引くことで、∏_{p≡1 mod 3} (1 - 2/(p(p+1))) などの定数を20桁以上で計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の整数nを動かすとき、ℤₙ*におけるx² ≡ 1の解の平均個数は何か？
• RQ2 ℤₙ*におけるx³ ≡ 1の解の平均個数は何か？
• RQ3 ℤₙにおけるx² ≡ 0の解の平均個数は何か？
• RQ4 ℤₙおよびℤₙ*における二乗写像y ↦ y²の像の平均個数は何か？
• RQ5 ℤₙおよびℤₙ*における立方写像y ↦ y³の像の平均個数は何か？

主な発見

• ℤₙ*におけるx² ≡ 1の解の平均個数は、N → ∞ において (6/π²) · N · ln N に漸近する。
• n ≡ 1, 3, 4, 5, 7 mod 8 のとき、ℤₙ*におけるx² ≡ 1の解の個数は 2^{ω(n)} である。n ≡ 2, 6 mod 8 のとき、2^{ω(n)−1} である。n ≡ 0 mod 8 のとき、2^{ω(n)+1} である。
• ℤₙ*におけるx³ ≡ 1の解の平均個数は、L関数を含む定数因子を除き、(1/ζ(3)) · N · (ln N)^{1/2} / Γ(1/2) に漸近する。
• ℤₙにおける二乗写像の像の平均個数は、漸近的に (3/π²) · N² に一致し、∑_{n≤N} φ(n) の既知の漸近と一致する。
• ℤₙ*における立方写像の像の平均個数は、立方剰余にセルバーグ＝デルange法を適用することで、N · (ln N)^{1/3} / Γ(1/3) に比例する漸近形をとる。
• 定数C = ∏_{p≡1 mod 3} (1 - 2/(p(p+1))) は、P_{3,1}(s) の高精度評価および級数加速により、20桁まで計算され、0.941034941319535451790... となった。