[論文レビュー] Stability and Control of Functional Differential Equations

Matthew M. Peet|ArXiv.org|Jul 6, 2006

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、半定型計画法と作用素論的ラプラス不等式を用いた非線形時遅れ系のための新しい安定性解析フレームワークを提示する。線形化されたインターネット混雑制御プロトコルに対して以前に導出された利得境界が、元の非線形系のグローバル安定性を保証することを確立し、パラメータ依存のラプラス汎関数を用いた線形および非線形時遅れ系の安定性を検証するための凸条件の階層を導入する。

ABSTRACT

This thesis addresses the question of stability of systems defined by differential equations which contain nonlinearity and delay. In particular, we analyze the stability of a well-known delayed nonlinear implementation of a certain Internet congestion control protocol. We also describe a generalized methodology for proving stability of time-delay systems through the use of semidefinite programming. In Chapters 4 and 5, we consider an Internet congestion control protocol based on the decentralized gradient projection algorithm. For a certain class of utility function, this algorithm was shown to be globally convergent for some sufficiently small value of a gain parameter. Later work gave an explicit bound on this gain for a linearized version of the system. This thesis proves that this bound also implies stability of the original system. In Chapter 7, we describe a general methodology for proving stability of linear time-delay systems by computing solutions to an operator-theoretic version of the Lyapunov inequality via semidefinite programming. The result is stated in terms of a nested sequence of sufficient conditions which are of increasing accuracy. This approach is generalized to the case of parametric uncertainty by considering parameter-dependent Lyapunov functionals. Numerical examples are given to demonstrate convergence of the algorithm. In Chapter 8, this approach is generalized to nonlinear time-delay systems through the use of non-quadratic Lyapunov functionals.

研究の動機と目的

• 一般化されたパassing性フレームワークを用いて、非線形時遅れ付きインターネット混雑制御プロトコルのグローバル漸近的安定性を確立すること。
• 作用素論的ラプラス不等式を用いた凸最適化ベースの手法を開発し、線形時遅れ系の安定性を検証すること。
• 非2次ラプラス汎関数とパラメトリック不確実性を用いて、この手法を非線形系に拡張すること。
• 半定型計画法を用いた、徐々に高精度になる十分条件の階層を提供すること。
• 数値例を通じて、提案手法の収束性と有効性を示すこと。

提案手法

• システムを線形遅延部と非線形不連続部分に分解することで、安定性問題を定式化する。
• 線形部には周波数領域解析を、非線形部には時間領域解析を積分二次制約（IQCs）を用いて適用する。
• 半定型計画法を用いて、線形時遅れ系の安定性を検証する凸条件のネストされた系列を構築する。
• パラメータ依存のラプラス汎関数を導入し、線形系におけるパラメータ不確実性を扱う。
• 非2次ラプラス汎関数と行列値乗数作用素を用いることで、非線形系へのアプローチを一般化する。
• 区分的連続カーネル関数をスケーリングされた領域上での連続関数に写像する変換を用い、標準的な半定型計画法ソルバーによる正定性の検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インターネット混雑制御プロトコルの線形化版で導出された利得境界が、元の非線形系の安定性を保証するか？
• RQ2 線形時遅れ系の安定性を段階的に高精度に検証できる凸条件の階層を構築できるか？
• RQ3 時遅れ系におけるパラメータ不確実性を凸最適化フレームワーク内でどのように扱えるか？
• RQ4 非2次ラプラス汎関数を用いて、非線形時遅れ系への安定性解析フレームワークを拡張できるか？
• RQ5 行列値カーネル関数の正定性と、変換空間上での対応する正定値作用素の存在との関係は何か？

主な発見

• 線形化されたインターネット混雑制御プロトコルに対して導出された利得境界が、元の非線形系のグローバル漸近的安定性を保証することを示し、ネットワーキング制御系分野における重要な未解決問題を解決した。
• 線形時遅れ系の安定性に関する十分条件のネストされた系列が構築され、階層レベルが上昇するにつれて正確な安定性境界に収束することが確認された。
• パラメータ依存のラプラス汎関数を用いることで、提案手法はパラメータ不確実性を効果的に扱い、ロバスト安定性解析を可能にした。
• 数値例により、アルゴリズムの収束性が示され、基底関数の数が増加するにつれて安定性境界の誤差が減少することが確認された。
• スケーリングを用いた区分的連続カーネルの連続化が正定性を保存し、標準的な半定型計画法ソルバーの使用を可能にした。
• 関数解析および測度論的議論を用いて、不連続カーネルの正定性とその変換後の連続対応物の正定性との等価性が厳密に証明された。