[論文レビュー] Stability and thermodynamics of black rings

Giovanni Arcioni, Ernesto Lozano-Tellechea|ArXiv.org|Feb 14, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ポincare（転回点）法を用いて、5次元回転ブラックホールおよびブラックリングのマイクロカノニカル安定性と熱力学的相構造を調査する。小さなブラックリング（SBR）は局所的に不安定であり、相共存点 $x_{\text{min}}$ および極限状態（$x=1$）で安定性の転移が生じる。臨界指数とラッペイナー幾何学により、形式的な2次相転移の挙動が示唆されるが、一方で1つの相が不安定であるため、真の相転移は発生しない。

ABSTRACT

We study the phase diagram of D=5 rotating black holes and the black rings discovered by Emparan and Reall. We address the issue of microcanonical stability of these spacetimes and its relation to thermodynamics by using the so-called ``Poincare method'' of stability. We are able to show that one of the BR branches is always unstable, with a change of stability at the point where both BR branches meet. We study the geometry of the thermodynamic state space (``Ruppeiner geometry'') and compute the critical exponents to check the corresponding scaling laws. We find that, at extremality, the system exhibits a behaviour which, formally, is very similar to that of a second order phase transition.

研究の動機と目的

• 5次元回転ブラックホールおよびブラックリング、特に既に全体的に不安定であると知られている小さなブラックリング（SBR）のマイクロカノニカル安定性を評価すること。
• ブラックホールとブラックリングの間で観察される相共存が、熱力学的相転移を示すかどうかを、比熱解析を超える安定性基準を用いて調査すること。
• Ruppeiner幾何学を用いて熱力学的状態空間の幾何的構造を調査し、臨界点近傍でのスケーリング法則を検証するための臨界指数を計算すること。
• 小さなブラックリングが不安定であるにもかかわらず、系が2次相転移に類似した挙動を示すかどうかを特定すること。

提案手法

• エントロピー最大化と拡張エントロピー関数 $\widehat{S}(X^\rho; M, J)$ のヘッシアンに依存する、局所安定性を評価するPoincaré法を適用し、エントロピーの加法性を仮定しない。
• 非平衡変数 $X^\rho$ を含む拡張エントロピー関数 $\widehat{S}$ を用い、安定性を固有値 $\lambda_\rho = (\partial_{\rho\rho}\widehat{S})_{\text{eq}}$ により定義する。すべての固有値が負であれば安定である。
• エントロピー $S(M,J)$ のヘッシアンから熱力学的曲率 $R$ を計算し、相関長 $\xi \sim \epsilon_M^{-\nu d}$ をモデル化する。ここで $\nu d$ と $\mu d$ は $R \sim \epsilon_M^{-\nu d}$ から導出される。
• 臨界点近傍でのスケーリング挙動を用いて臨界指数を定義する。$x_{\text{min}}$ では順序パラメータ $\eta = \omega_{\text{SBR}} - \omega_{\text{LBR}}$、$x=1$ では $\eta = \omega_{\text{SBR}} - \omega_{\text{BH}}$ を用い、$\alpha, \beta, \gamma, \delta, \sigma, \varphi, \nu d, \mu d$ を計算する。
• スケーリング法則 $\alpha + 2\beta + \gamma = 2$ および $2 - \alpha = \nu d \cdot d$ の妥当性を検証し、2次相転移挙動との一貫性をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さなブラックリングはPoincaré法において局所的に安定か？ その安定性の変化はどこで起こるか？
• RQ2 $x_{\text{min}}$ および $x=1$ 近傍の臨界指数は、2次相転移の標準的スケーリング法則を満たすか？
• RQ3 熱力学的曲率 $R$ は、ブラックホール幾何における相関長 $\xi$ の代理として解釈可能か？
• RQ4 小さなブラックリングが不安定であるにもかかわらず、$x_{\text{min}}$ および $x=1$ で形式的な2次相転移挙動を示すか？

主な発見

• 小さなブラックリングは局所的に不安定であり、2つのブラックリング分岐が交わる $x_{\text{min}} \approx 0.92$ で安定性が変化する。
• $x_{\text{min}}$ では臨界指数が $\alpha = \varphi = \gamma = \sigma = \frac{1}{2}$、$\beta = \delta^{-1} = \frac{1}{2}$、$\nu d = \mu d = 1$ となり、標準的スケーリング法則を満たす。
• $x=1$ では指数が $\alpha = \varphi = \gamma = \sigma = \frac{3}{2}$、$\beta = -\frac{1}{2}$、$\delta^{-1} = -\frac{1}{2}$、$\nu d = \mu d = \frac{1}{2}$ となり、スケーリング法則は $x=1$ のみで満たされる。
• 熱力学的曲率 $R$ は $\epsilon_M^{-\nu d}$ に従って発散し、$x_{\text{min}}$ では $\nu d = 1$、$x=1$ では $\nu d = \frac{1}{2}$ となる。これは相関長の発散に類似した形式的類似性を示唆する。
• 形式的なスケーリング挙動が見られるが、小さなブラックリングが不安定であるため、真の2次相転移は発生しない。臨界点以降に新たな相は存在しない。
• $x = \frac{1}{2}$（比熱の符号変化）や $x \approx 0.94$（エントロピー交差）では顕著な熱力学的挙動が観察されないため、ブラックホールと大きなブラックリングが両方安定であれば、1次相転移が発生する可能性がある。