[論文レビュー] Stability of extremal metrics under complex deformations

Yann Rollin, Santiago R. Simanca+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2011

Geometry and complex manifolds被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、極大ケーラー計量が極小化された多様体の複素変形において安定することを確立し、特に、コンpactな等長変換群に関して非退化な Futaki 不変量を持つ極大ケーラー計量を有する多様体の小さな変形において、その極大ケーラー計量が h^{1,1}(X) 次元の族として存続することを証明する。この結果を応用して、ムカイ・ウメクラ3次元多様体の特定の複素変形がケーラー＝アインシュタイン計量を有することを示す。

ABSTRACT

Let (X,\Omega) be a closed polarized complex manifold, g be an extremal metric on X that represents the Kahler class \Omega, and G be a compact connected subgroup of the isometry group Isom(X,g). Assume that the Futaki invariant relative to G is nondegenerate at g. Consider a smooth family $(M o B)$ of polarized complex deformations of (X,\Omega)\simeq (M_0,\Theta_0) provided with a holomorphic action of G with trivial action on B. Then for every t\in B sufficiently small, there exists an h^{1,1}(X)-dimensional family of extremal Kaehler metrics on M_t whose Kahler classes are arbitrarily close to \Theta_t. We apply this deformation theory to show that certain complex deformations of the Mukai-Umemura 3-fold admit Kaehler-Einstein metrics.

研究の動機と目的

• 極小化された多様体の複素変形において極大ケーラー計量が存続する条件を確立すること。
• コンパクトな等長変換群に関して相対的 Futaki 不変量が計量の安定性を保証する役割を分析すること。
• 群作用を有する多様体および非退化な相対的 Futaki 不変量を有する場合の変形理論を拡張すること。
• 理論的枠組みを応用して、ムカイ・ウメクラ3次元多様体の特定の複素変形に対してケーラー＝アインシュタイン計量を構成すること。

提案手法

• 閉じた極小化された複素多様体 (X, Ω) に作用する正則な G-作用が底空間 B に自明に作用する滑らかな極小化された複素変形族 (M_t, Θ_t) を用いる。
• 初期の極大計量 g において、G に関する相対的 Futaki 不変量が非退化であるという条件を課す。
• 変形理論を適用して、十分に小さな t ∈ B に対して各 M_t に h^{1,1}(X) 次元の極大ケーラー計量族が存在することを示す。
• これらの計量のケーラー類が Θ_t に任意に近くなるように保証し、コhomological 構造を維持する。
• 相対的 Futaki 不変量の非退化性を用いて、変形下での極大計量方程式の可解性を保証する。
• 一般結果をムカイ・ウメクラ3次元多様体に適用し、特定の複素変形がケーラー＝アインシュタイン計量を有することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極小化された複素多様体に定義された極大ケーラー計量が、複素変形においていつ存続するか。
• RQ2 相対的 Futaki 不変量の非退化性が、変形族における極大計量の存在にどのように影響するか。
• RQ3 群に可換な変形の下で、初期の極大計量から変形可能な極大計量族の次元は何か。
• RQ4 極大計量の変形理論を用いて、特定の複素多様体にケーラー＝アインシュタイン計量を構成できるか。
• RQ5 ムカイ・ウメクラ3次元多様体の複素変形は、ケーラー＝アインシュタイン計量を有するか。もし有するならば、どのような条件下か。

主な発見

• 十分に小さな t ∈ B に対して、M_t に Kähler 类が Θ_t に任意に近い h^{1,1}(X) 次元の極大ケーラー計量族が存在する。
• 相対的 Futaki 不変量が初期計量において G に関して非退化である限り、極大計量の変形における存続が保証される。
• この結果は、コンパクトかつ連結な等長変換群 G が底空間の変形族に自明に作用する多様体に適用可能である。
• この方法により、ムカイ・ウメクラ3次元多様体の特定の複素変形にケーラー＝アインシュタイン計量が存在することを確認した。
• 変形族はコhomological データを保ち、極限においてケーラー類が元の類 Ω に近くなることを保証する。