[論文レビュー] Stability of Generalised Static Black Holes in Higher Dimensions

Hideo Kodama, Akihiro Ishibashi|ArXiv.org|Dec 2, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、摂動のテンソル的分解から導かれるゲージ不変なマスタ方程式を用いて、高次元のシュバルツシルト黑洞および電荷を有する黑洞の安定性を確立している。シュレーディンガー型方程式における有効ポテンシャルにS変換技術を適用することで、任意次元における中性黑洞およびD=4およびD=5における電荷を有する黑洞の安定性を証明した。一方、これらのケースを超えた高次元における不安定性は未解決のままである。

ABSTRACT

We discuss the stability of (charged) static black holes in higher-dimensional spacetimes with and without cosmological constant by using gauge-invariant master equations of the Schroedinger equation type for black hole perturbations derived by the authors recently. In particular, we show that the stability of higher-dimensional Schwarzschild black holes can be proved with the help of a technique called S-deformation of the master equations. We also point out that higher-dimensional static black holes might be unstable only against scalar-type perturbations in the neutral case and in the charged case with spherically symmetric or flat horizons.

研究の動機と目的

• 一般化された静的な高次元時空における中性および電荷を有するブラックホールの安定性を分析すること。
• アインシュタイン空間上でのテンソル的分解を用いた、高次元における摂動のゲージ不変形式を構築すること。
• シュレーディンガー型マスタ方程式を用いて、スカラー型、ベクトル型、テンソル型のすべての摂動タイプに対する安定性を厳密に評価すること。
• 高次元ブラックホールがどのような条件下で不安定化するかを特定すること、特にスカラー型モードに注目すること。
• 4次元を超える高次元ブラックホール解（de Sitter、ミンコフスキー、反de Sitter背景を含む）に対して、摂動理論の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 空間的対称性を有するD次元時空における摂動のゲージ不変形式を用い、n次元アインシュタイン空間上でのスカラー型、ベクトル型、テンソル型に分離された計量摂動に分解する。
• コンパクトな空間部 K^n 上での調和関数展開を用いて、摂動方程式を、互いに結合しないゲージ不変な常微分方程式の集合に還元する。
• 各摂動タイプに対して、有効ポテンシャル V(r) が次元D、電荷Q、宇宙定数Λに依存するシュレーディンガー型マスタ方程式を導出する。
• 有効ポテンシャルにS変換技術を適用し、変換後のポテンシャルが正定値であることを示すことにより、安定性の証明を可能にする。
• ホライズン付近および無限遠における有効ポテンシャルの振る舞いを分析し、束縛状態や不安定モードの存在を評価する。
• ポテンシャルの構造およびマスタ変数Φの振る舞いをもとに、ポテンシャル井戸の符号と深さに基づいて安定性または不安定性を推論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ不変な摂動形式を用いて、高次元シュバルツシルトブラックホールの安定性を厳密に証明できるか？
• RQ2 電荷を有するか中性の高次元ブラックホールが、特にスカラー型摂動に対してどのような条件下で不安定化するか？
• RQ3 S変換法を用いて、中性または電荷を有するブラックホール時空においてD > 5の領域でも安定性を証明できるか？
• RQ4 宇宙定数（正または負）が高次元ブラックホールの安定性にどのように影響するか？
• RQ5 特定の次元（例：D=4,5）において、有効ポテンシャル井戸が負であっても安定性が保たれる条件はあるか？

主な発見

• 中性高次元シュバルツシルトブラックホールの安定性は、マスタ方程式のS変換により有効ポテンシャルが正定値となることから、すべての次元Dに対して厳密に証明された。
• 電荷を有するブラックホールでは、D=4およびD=5の次元で、球対称（K=1）または平坦（K=0）なホライズンを持つ場合、de Sitterおよび反de Sitter背景において安定性が確認された。
• 中性の場合、K=1およびλ>0ではD≤6で安定性が成立するが、D≥7では未解決のままである。
• K=1およびλ<0の場合は、D=4で安定性が確認されたが、D≥5では未確定のままである。
• 電荷を有する場合、K=1およびλ>0ではD≤6で安定性が証明されたが、D≥7では不確実性が残る。
• 中性の場合、D>5ではホライズン付近に深い負の井戸が存在するため、S変換が有効ポテンシャルを安定化させることができず、不安定化の可能性を示唆するが、明確な不安定性の証明までは得られていない。