[論文レビュー] Stability of KKT systems and superlinear convergence of the SQP method under parabolic regularity

Ashkan Mohammadi, Boris S. Mordukhovich+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、放物的正則性を用いて制約付き最適化におけるKKTシステムのロバスト安定性の2次的特徴付けを確立し、広範な非多面体問題に対して逐次二次計画法（SQP）の超線形収束を可能にする。主な貢献は、放物的正則性のもとでKKT写像のメトリック正則性が強メトリック部分正則性を意味することの証明であり、多面体制約を要件とせず、適切な問題設定のもとで解の適切な定義とプライマル・デュアルの超線形収束を保証する。

ABSTRACT

This paper pursues a two-fold goal. Firstly, we aim to derive novel second-order characterizations of important robust stability properties of perturbed Karush-Kuhn-Tucker systems for a broadclass of constrained optimization problems generated by parabolically regular sets. Secondly, the obtained characterizations are applied to establish well-posedness and superlinear convergence of the basic sequential quadratic programming method to solve parabolically regular constrained optimization problems.

研究の動機と目的

• 制約付き最適化における摂動されたKKTシステムについて、強メトリック部分正則性および分離的滑らかさというロバスト安定性特性の2次的特徴付けを構築すること。
• 古典的非線形計画問題に限らない一般の放物的正則問題へとSQP法の収束理論を拡張すること。
• 一般化された2次十分条件および放物的正則性のもとで、基本的SQP法の適切な定義と超線形収束を確立すること。
• 非多面体設定における非臨界乗数および2次最適性に関する既存の結果を統合・一般化すること。

提案手法

• 制約集合の放物的正則性を2次的正則性条件の基盤として用い、既知のメトリック部分正則性や2次十分条件の概念を一般化する。
• 変分解析の高度な道具を適用し、メトリック正則性のコデリバティブ基準および正規束写像の導出-コデリバティブ包含関係を用いる。
• プロト微分可能性および2次一般化微分を用いて、摂動下でのKKT写像の挙動を特徴付ける。
• 放物的正則性のもとで、KKT写像のメトリック正則性と強メトリック部分正則性の間の新たな同値関係を導出する。
• ラグランジュヘッセ行列と制約ヤコビ行列を用いて定義されるKKT写像 $ G $ を用い、安定性および収束性を分析する。
• コデリバティブおよびグラフィカル導出の道具を用いて、乗数の非臨界性と分離的滑らかさ、強メトリック部分正則性の関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KKT写像が強メトリック的に部分正則となる条件は何か？ これにより摂動下での解のロバスト安定性が保証される。
• RQ2 制約集合の放物的正則性は、非臨界ラグランジュ乗数の2次的特徴付けにどのように影響するか？
• RQ3 古典的非線形計画問題におけるSQP収束結果を、一般化された2次十分条件を用いて非多面体問題へと拡張可能か？
• RQ4 放物的正則性のもとで、KKT写像のメトリック正則性と強メトリック部分正則性の関係は何か？
• RQ5 導出-コデリバティブ包含関係は、メトリック正則性から強メトリック部分正則性を示す証明をどのように支援するか？

主な発見

• 標準仮定（H1）および（H2）のもとで、KKT写像 $ G $ の $ ((\bar{x},\bar{\lambda}),(0,0)) $ におけるメトリック正則性は、強メトリック部分正則性を意味する。これは解写像の分離的滑らかさと同値である。
• メトリック正則性のコデリバティブ基準を用いて、$ (0,0) \in D^*G(\bar{x},\bar{\lambda}),(0,0))(w,u) \Rightarrow w=0, u=0 $ が示され、KKTシステムの安定性が保証される。
• 正規束写像のグラフィカル導出とコデリバティブの包含関係 $ DN_\Theta(f(\bar{x}),\bar{\lambda})(\xi) \subset D^*N_\Theta(f(\bar{x}),\bar{\lambda})(\xi) $ は、両者の関係を結ぶ上で中心的な役割を果たす。
• 放物的正則性のもとで、SQP副問題は適切に定義され、解が存在する。強メトリック部分正則性により、反復点の局所的一意性と安定性が保証される。
• 一般化された2次十分条件および放物的正則性のもとで、基本的SQP法の超線形収束が確立され、これはボンナーンズの結果を非線形計画問題を超えて拡張する。
• 古典的非線形計画問題に対しても、本結果は新規である。なぜなら、放物的正則性および高度な一般化微分の道具を用いて、非臨界乗数および分離的滑らかさの2次的特徴付けを提供するからである。