[論文レビュー] Stability of multidimensional persistent homology with respect to domain perturbations

Patrizio Frosini, Claudia Landi|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2010

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、距離関数を用いて集合の摂動を関数の摂動に還元することにより、ドメイン摂動に対する多次元恒続ホモロジーの安定性を確立する。多次元マッチング距離が、ハウスドルフ距離、対称差距離、およびsup距離によって上から抑えられることを証明し、さまざまなドメイン歪み下でも形状解析におけるロバスト性を確保するとともに、元の位相的情報を保持する。

ABSTRACT

Motivated by the problem of dealing with incomplete or imprecise acquisition of data in computer vision and computer graphics, we extend results concerning the stability of persistent homology with respect to function perturbations to results concerning the stability with respect to domain perturbations. Domain perturbations can be measured in a number of different ways. An important method to compare domains is the Hausdorff distance. We show that by encoding sets using the distance function, the multidimensional matching distance between rank invariants of persistent homology groups is always upperly bounded by the Hausdorff distance between sets. Moreover we prove that our construction maintains information about the original set. Other well known methods to compare sets are considered, such as the symmetric difference distance between classical sets and the sup-distance between fuzzy sets. Also in these cases we present results stating that the multidimensional matching distance between rank invariants of persistent homology groups is upperly bounded by these distances. An experiment showing the potential of our approach concludes the paper.

研究の動機と目的

• ドメイン（位相的空間）が摂動される場合の恒続ホモロジーにおける安定性の欠如に対処すること。これは、ノイズや不完全なデータを含む実世界の応用において極めて重要である。
• 従来、関数摂動に限定されていた安定性結果を、幾何的歪みや外れ値を含むドメイン自体の摂動にまで拡張すること。
• 集合を距離関数で符号化することにより、ドメイン摂動問題を関数摂動問題に還元する一般枠組みを構築すること。
• ドメイン摂動後でも、元のドメインの恒続ホモロジーが回復可能であり、位相的情報が保持されることを保証すること。

提案手法

• 固定ドメイン $D$ 上で定義された距離関数 $f_K$ を用いてコンパクト集合 $K$ を置き換え、ドメイン摂動を関数摂動に変換する。
• ドメイン $D$ 上に新たな多パラメータ測定関数 $\vec{\Phi} = (f_K, \vec{\varphi})$ を構築する。ここで $\vec{\varphi}$ は $K$ 上の元の関数であり、これにより既存の関数摂動に対する安定性結果を適用可能にする。
• 恒続ホモロジー群のランク不変量を比較するために多次元マッチング距離を用いる。これは、小さな関数摂動に対して安定である。
• 距離関数を用いる場合、ランク不変量間の多次元マッチング距離が、集合間のハウスドルフ距離によって上から抑えられることを証明する。
• 集合差の符号化に適切な関数を定義することにより、対称差距離への拡張を実現する。
• メンバーーシップ関数間のsup距離を用いて、曖昧集合に対しても同様の戦略を適用し、曖昧摂動下でも安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数のドメインが摂動される場合、関数値の摂動のみに限らない恒続ホモロジーが安定するか？
• RQ2 距離関数を用いてドメインを符号化する場合、ランク不変量間の多次元マッチング距離が、コンパクト集合間のハウスドルフ距離によって上から抑えられるか？
• RQ3 提案手法は、摂動後の元のドメインの位相的情報を保持するか？
• RQ4 対称差距離（外れ値検出に一般的に用いられる）で測定されるドメイン摂動に対しても安定性が保証されるか？
• RQ5 確率的または不確実なデータ設定において関連性の高いsup距離摂動下でも、曖昧集合に対して安定性が達成可能か？

主な発見

• 距離関数を用いて符号化された2つのコンパクト集合 $K_1$ と $K_2$ のランク不変量間の多次元マッチング距離は、それらの間のハウスドルフ距離によって上から抑えられる。
• 元の集合 $K$ の恒続ホモロジー群は、関数 $\vec{\Phi} = (f_K, \vec{\varphi})$ の恒続ホモロジーから完全に回復可能であり、位相的情報の損失がないことが保証される。
• 対称差距離の場合は、ランク不変量間の多次元マッチング距離がこの距離によって上から抑えられ、集合差摂動下での安定性が証明される。
• sup距離の下では、メンバーーシップ関数間のsup距離によって上から抑えられるため、曖昧集合に対しても安定性が保証される。
• 実験では、ランク不変量 $\rho_{(K_1,\varphi_{|K_1}),0}(-100,-80)$ が複数のパrameter設定において一貫して8に近似され、数値的安定性が示された。
• $\alpha = 0$ の場合、$Adm_2$ の境界における不安定性により計算が信頼できなくなることが示され、退化パrameter値に近い領域での数値的限界が浮き彫りになった。