[논문 리뷰] Stability of Polynomial Differential Equations: Complexity and Converse Lyapunov Questions

Amir Ali Ahmadi, Pablo A. Parrilo|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 30.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 61인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 삼차 벡터장의 점근적 안정성을 결정하는 것이 강한 NP-난이도임을 증명하고, 다항형 라플라스 함수를 갖지 않는 전역적으로 점근적으로 안정된 2차 시스템의 예를 제시하며, 평면 또는 동차 다항식 시스템의 경우, 다항형 라플라스 함수의 존재는 합의 제곱(sos) 라플라스 함수의 존재를 함의하며, 그 도함수 역시 sos임을 증명한다. 이러한 결과들은 다항식 시스템의 안정성 분석을 위한 합의 제곱 최적화의 복잡성과 한계에 관한 오랫동안 남아있던 질문들을 해결한다.

ABSTRACT

We consider polynomial differential equations and make a number of contributions to the questions of (i) complexity of deciding stability, (ii) existence of polynomial Lyapunov functions, and (iii) existence of sum of squares (sos) Lyapunov functions. (i) We show that deciding local or global asymptotic stability of cubic vector fields is strongly NP-hard. Simple variations of our proof are shown to imply strong NP-hardness of several other decision problems: testing local attractivity of an equilibrium point, stability of an equilibrium point in the sense of Lyapunov, invariance of the unit ball, boundedness of trajectories, convergence of all trajectories in a ball to a given equilibrium point, existence of a quadratic Lyapunov function, local collision avoidance, and existence of a stabilizing control law. (ii) We present a simple, explicit example of a globally asymptotically stable quadratic vector field on the plane which does not admit a polynomial Lyapunov function (joint work with M. Krstic). For the subclass of homogeneous vector fields, we conjecture that asymptotic stability implies existence of a polynomial Lyapunov function, but show that the minimum degree of such a Lyapunov function can be arbitrarily large even for vector fields in fixed dimension and degree. For the same class of vector fields, we further establish that there is no monotonicity in the degree of polynomial Lyapunov functions. (iii) We show via an explicit counterexample that if the degree of the polynomial Lyapunov function is fixed, then sos programming may fail to find a valid Lyapunov function even though one exists. On the other hand, if the degree is allowed to increase, we prove that existence of a polynomial Lyapunov function for a planar or a homogeneous vector field implies existence of a polynomial Lyapunov function that is sos and that the negative of its derivative is also sos.

연구 동기 및 목표

• 다항식 미분방정식의 안정성 결정에 대한 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 전역적으로 점근적으로 안정된 시스템이 항상 다항형 라플라스 함수를 갖는지 여부를 조사하는 것.
• 다항형 라플라스 함수가 존재할 경우 합의 제곱(sos) 라플라스 함수의 존재 여부를 검토하는 것.
• 특정 계열의 시스템에서 다항식 및 sos 라플라스 함수에 대한 역 라플라스 문제를 해결하는 것.
• 다항식 시스템에서 안정성 증명을 위한 합의 제곱 프로그래밍의 한계와 보장을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 기존의 알려진 NP-난이도 문제로의 축소를 통해 삼차 벡터장에 대한 국소적 및 전역적 점근적 안정성 테스트의 강한 NP-난이도를 증명하였다.
• 평면 상의 전역적으로 점근적으로 안정된 2차 벡터장에 대한 명시적 예를 구성하여, 어떤 다항형 라플라스 함수도 존재하지 않음을 입증하였다.
• 동차 벡터장의 경우, 점근적 안정성이 유한한 차수의 다항형 라플라스 함수의 존재를 보장하지 않으며, 그 차수는 임의로 클 수 있음을 보였다.
• 고정된 차수의 합의 제곱(sos) 프로그래밍이 존재하는 라플라스 함수를 찾지 못할 수 있음을 보여주는 반례를 제시하였다.
• 만약 평면 또는 동차 벡터장에 대해 다항형 라플라스 함수가 존재한다면, 그 도함수 역시 sos인 합의 제곱(sos) 라플라스 함수가 존재함을 증명하였다.
• 동차화 및 Positivstellensatz 유형의 결과를 활용하여 안정성 문제를 합의 제곱 타당성 문제로 변환하였으며, 대수기하학 도구를 활용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 벡터장의 점근적 안정성 결정이 계산적으로 어려운가?
• RQ2 모든 전역적으로 점근적으로 안정된 다항식 시스템이 다항형 라플라스 함수를 갖는가?
• RQ3 고정된 차수의 합의 제곱(sos) 프로그래밍이 존재하는 라플라스 함수를 항상 찾을 수 있는가, 특히 고정된 차수 탐색의 경우에 대해?
• RQ4 동차 또는 평면 시스템의 경우, 다항형 라플라스 함수의 존재가 도함수가 sos인 sos 라플라스 함수의 존재를 함의하는가?
• RQ5 시스템 계수에 기반하여 다항형 라플라스 함수의 차수에 대한 계산 가능한 상한을 설정할 수 있는가?

주요 결과

• 삼차 벡터장의 국소적 또는 전역적 점근적 안정성 결정은 강한 NP-난이도를 띠며, 이는 P = NP가 아닐 경우 어떤 효율적 알고리즘도 존재하지 않음을 의미한다.
• 다항형 라플라스 함수를 갖지 않는 평면 상의 전역적으로 점근적으로 안정된 2차 벡터장이 존재하며, 이는 자연스러운 추측을 반증한다.
• 동차 다항식 벡터장의 경우, 점근적 안정성이 유한한 차수의 다항형 라플라스 함수의 존재를 보장하지 않으며, 최소 차수는 임의로 클 수 있다.
• 동차 시스템의 다항형 라플라스 함수의 차수는 단조적이지 않다—더 높은 차수의 시스템일수록 더 낮은 차수의 라플라스 함수가 필요할 수 있다.
• 다항형 라플라스 함수의 차수를 늘릴 수 있다면, 평면 또는 동차 시스템의 경우 그러한 함수의 존재는 도함수가 sos인 합의 제곱(sos) 라플라스 함수의 존재를 함의한다.
• 평면 또는 동차 시스템의 경우, 어떤 다항형 라플라스 함수도 존재한다면, 그로부터 반경 방향으로 무한히 증가하는, 도함수가 정부정인 sos 라플라스 함수의 존재를 보장하며, 이는 준선형계획법을 통한 안정성 증명을 가능하게 한다.