[論文レビュー] Stability of the kinematically coupled $\beta$- scheme for fluid-structure interaction problems in hemodynamics

Sunčica Čanić, Boris Muha+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ヘモダイナミクスにおける流体-構造連成問題に対して、追加質量効果を解析的に解消することで、運動的結合型βスキームの非条件的安定性を証明している。これは、ロビン型境界条件による構造の慣性の暗黙的組み込みによって達成され、古典的なディリクレ=ノイマンスキームとは異なり、追加質量効果が生じない。スキームはすべてのβ ∈ [0, 1] および物理的に妥当なすべてのパラメータに対して安定であり、ベンチマーク非線形FSI問題における数値シミュレーションで検証されている。

ABSTRACT

It is well-known that classical Dirichlet-Neumann loosely coupled partitioned schemes for fluid-structure interaction (FSI) problems are unconditionally unstable for certain combinations of physical and geometric parameters that are relevant in hemodynamics. It was shown in \cite{causin2005added} on a simple test problem, that these instabilities are associated with the so called ``added-mass effect''. By considering the same test problem as in \cite{causin2005added}, the present work shows that a novel, partitioned, loosely coupled scheme, recently introduced in \cite{MarSun}, called the kinematically coupled $\beta$-scheme, does not suffer from the added mass effect for any $\beta \in [0,1]$, and is unconditionally stable for all the parameters in the problem. Numerical results showing unconditional stability are presented for a full, nonlinearly coupled benchmark FSI problem, first considered in \cite{formaggia2001coupling}.

研究の動機と目的

• 追加質量効果による古典的ディリクレ=ノイマン緩く結合されたスキームの不安定性を解消する。
• [11]で提案された運動的結合型βスキームが、この不安定性を克服できるかを調査する。
• すべてのβ ∈ [0, 1] におけるスキームの非条件的安定性について、理論的および数値的証拠を確立する。
• 古典的スキームが失敗するが、現実的なヘモダイナミクス的パラメータ条件下でも、スキームの頑健性を示す。
• 血液流動における非線形で完全に結合されたFSI問題に適用可能な安定性解析フレームワークを提供する。

提案手法

• 追加質量効果を分離して分析できるように、[18]の簡略化されたテスト問題を採用する。
• パラメータβを用いて、流体と構造のサブ問題間で流体圧力を分配することで、運動的結合型βスキームを定式化する。
• 構造の慣性を暗黙的に組み込むために、流体サブ問題にロビン型境界条件を導入し、明示的なディリクレ結合を避ける。
• 簡略化された問題に対してフォン・ノイマン安定性解析を実施し、追加質量作用素がスキームを不安定化しないことを示す。
• 粘弾性構造と非圧縮性粘性流体を有する完全な非線形FSIベンチマーク問題に、このスキームを実装する。
• 各タイムステップで流体および構造サブ問題を逐次的に解くために、時間陰性で分割された反復スキームを予測子-修正子構造で採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 追加質量効果が存在する中で、運動的結合型βスキームはすべてのβ ∈ [0, 1] に対して非条件的安定性を保つのか？
• RQ2 ロビン境界条件による構造慣性の暗黙的組み込みは、明示的ディリクレ=ノイマン結合と比較して不安定性をどのように回避するのか？
• RQ3 低構造質量および高流体慣性が典型的なヘモダイナミクス的パラメータ領域において、このスキームは安定性を維持できるか？
• RQ4 非線形ベンチマーク上で、このスキームの数値的性能は古典的ディリクレ=ノイマンスキームおよびモノリックスキームと比較してどうなるか？
• RQ5 ベンチマーク問題における時間方向の収束特性はどのようであり、最適次数に達するのか？

主な発見

• 運動的結合型βスキームは、すべてのβ ∈ [0, 1] に対して非条件的安定性を示す。流体および構造のパラメータにかかわらず、古典的ディリクレ=ノイマンスキームが不安定化するような条件でも同様である。
• 構造の慣性がディリクレデータによる明示的結合ではなく、ロビン境界条件を通じて暗黙的に組み込まれるため、追加質量効果を回避する。
• [31]のベンチマークFSI問題における数値シミュレーションにより、古典的スキームが失敗する臨界的パラメータ領域でも、非条件的安定性が確認された。
• 時間方向に2次収束を達成し、Δtを小さくするに従い、圧力、速度、変位のL2誤差の収束順序が約1.0〜1.2に達する。
• 運動的結合型βスキームの結果は、バディア、クアニ、クォアリオーニが提唱したモノリックスキームの結果と非常に近い。これにより、その精度が妥当であることが裏付けられた。
• 図11のブロック図比較から、運動的結合型スキームは、ディリクレ=ノイマンスキームに見られる不安定化を引き起こすフィードバックループを回避していることが明確に示された。