[論文レビュー] Stabilization of Branching Queueing Networks

Tomǎš Brázdil, Stefan Kiefer|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、分岐（複数のジョブ生成）と制御（非決定的行動選択）を組み込んだ、ジャクソンネットワークの拡張としての制御付き分岐キューイングネットワークを導入する。安定性（エルゴード性）が多項式時間で決定可能であることを証明し、線形計画法を用いて効率的に計算可能な静的確率的スケジューラを提示することで、すべてのキューのモーメントが有限であることを保証し、強い安定性を達成する。

ABSTRACT

Queueing networks are gaining attraction for the performance analysis of parallel computer systems. A Jackson network is a set of interconnected servers, where the completion of a job at server i may result in the creation of a new job for server j. We propose to extend Jackson networks by "branching" and by "control" features. Both extensions are new and substantially expand the modelling power of Jackson networks. On the other hand, the extensions raise computational questions, particularly concerning the stability of the networks, i.e, the ergodicity of the underlying Markov chain. We show for our extended model that it is decidable in polynomial time if there exists a controller that achieves stability. Moreover, if such a controller exists, one can efficiently compute a static randomized controller which stabilizes the network in a very strong sense; in particular, all moments of the queue sizes are finite.

研究の動機と目的

• 並列および分散システムのより豊かなモデル化のため、分岐（複数のジョブ生成）と制御（非決定的行動選択）を備えたジャクソンネットワークを拡張すること。
• 制御者がネットワークを安定化できるかどうか、すなわちエルゴード性を保証できるかどうかを決定する計算上の課題に取り組むこと。
• キュー長のすべてのモーメントが有限であることを保証するような制御者を効率的に計算する方法を開発すること。
• 静的確率的スケジューラが最適な安定性を達成できることを示し、最大キュー利用率を最小化すること。

提案手法

• 連続時間マルコフ意思決定過程（CTMDPs）としての制御付き分岐キューイングネットワークを導入し、確率的遷移と非決定的制御行動を含む。
• 分岐と制御に対応するようにジャクソンネットワークの流量方程式を一般化し、流量のバランスをモデル化するための流量線形計画法（LP）を定式化する。
• リャプノフ関数の議論を用いて、流量LPの実行可能性が誘導されるスケジューラのもとでエルゴード性を示す。
• 任意の実行可能LP解から、行動確率をフロー速度に比例させるように、静的確率的スケジューラを構築する。
• このようなスケジューラが、すべてのキューのモーメントが有限であることを保証し、最大キュー利用率を最小化することを証明する。
• 問題を線形計画法の解法に還元することで、最適な安定化制御者の多項式時間計算が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐と制御を有する制御付き分岐キューイングネットワークにおいて、安定性（エルゴード性）を効率的に決定可能か？
• RQ2 このようなネットワークを安定化する制御者を合成する計算効率の良い方法はあるか？
• RQ3 静的確率的スケジューラは、キュー長のすべてのモーメントが有限であるような強い安定性を達成できるか？
• RQ4 最適なスケジューラは、すべての可能な制御者の中で最大キュー利用率を最小化するか？

主な発見

• 制御付き分岐キューイングネットワークの安定性は、多項式時間で決定可能である。
• 線形計画法を用いて、多項式時間で静的確率的スケジューラを計算可能であり、強い安定性を達成できる。
• 計算されたスケジューラのもとで、キュー長のすべてのモーメントが有限である。強エルゴード性が保証される。
• スケジューラは、すべてのキューにおける最大キュー利用率を最小化する。
• 他の静的確率的スケジューラよりも低い最大利用率を達成できるという意味で、解は最適である。
• 流量LPの定式化は、ジャクソンネットワークの式を一般化しており、効率的な制御者合成を可能にする。