[論文レビュー] Stabilization of perturbed integrator chains using Lyapunov-Based Homogeneous Controllers

Mohamed Harmouche, Salah Laghrouche+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の次数 r ≥ 1 に対する摂動を受ける積分チェインの有限時間安定化のためのリャプノフに基づく同次コントローラを提案する。同次度を調整することにより、固定時間収束を達成し、不連続制御の振幅を最小化することで、有界な不確実性下でもロバストかつ迅速な安定化を実現する。

ABSTRACT

In this paper, we present a Lyapunov-based homogeneous controller for the stabilization of a perturbed chain of integrators of arbitrary order $r\geq 1$. The proposed controller is based on homogeneous controller for stabilization of pure integrator chains. The advantages to control the homogeneity degree of the controller are also discussed. A bounded-controller with minimum amplitude of discontinuous control and a controller with fixed-time convergence are synthesized, using control of homogeneity degree, and their performances are shown in simulations. It is demonstrated that the homogeneous arbitrary HOSM controller \cite{Levant2001} is a particular case of our controller.

研究の動機と目的

• 任意の次数 r ≥ 1 に対する摂動を受ける積分チェインの有限時間安定化の課題に取り組む。
• 同次度の制御を導入することで、従来のコントローラーの限界を克服し、性能を調整可能にする。
• 初期条件に依存しない固定時間収束を達成する。これはロバスト制御において重要な要件である。
• 平衡点における不連続制御の振幅を最小化し、チタリングを低減するとともに、ロバスト性を向上させる。
• 従来の同次コントローラーやスライディングモードコントローラーを一般化・改善する統一フレームワークを設計する。

提案手法

• 純粋な積分チェイン用コントローラーに基づいて、リャプノフに基づく同次コントローラーを構築する。
• システムの収束特性を制御するための同次度パラメータ κ を導入する。
• 収束時間の有限性を証明するために、同次度 α = 1 + k₂/(2 + k₂) を持つリャプノフ関数 V を使用する。
• 時間スケーリングを τ > 1 で行い、収束を加速し、定常時間（セットリング時間）を短縮する。
• ゼロの近傍で κ を切り替えることで、不連続制御の振幅を最小化する有界コントローラーを設計する。
• κ = -1/r を選択することで、初期条件に依存しない固定時間収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リャプノフに基づくコントローラーにおける同次度の調整により、摂動を受ける積分チェインに対して固定時間安定化を達成できるか？
• RQ2 有限時間収束を維持しつつ、平衡点における不連続制御の振幅をどのように最小化できるか？
• RQ3 摂動を受ける積分チェイン系において、同次度と収束時間の関係は何か？
• RQ4 単一のコントローラーフレームワークが、任意次数のチェインにおける有限時間安定化と固定時間安定化を統合できるか？
• RQ5 有界な不確実性が存在する状況下で、時間スケーリングは収束速度およびコントローラー性能にどのように影響するか？

主な発見

• κ = -1/r を選択することで、収束時間が初期条件に依存せず有界である固定時間収束が達成される。
• 収束時間は T_f = (2 + k₂)B^(-k₂/(2 + k₂)) / (-k₂C) で有界であり、α = 1 + k₂/(2 + k₂) の条件下で、システムパラメータに明示的な依存関係を示す。
• κ ∈ (-1/r, 0) の場合、平衡点における不連続制御の振幅が最小化されつつ、有限時間収束が保証される。
• κ を -1/r から (-1/r, 0) の値に切り替えることで、チタリングが低減された有界コントローラーが得られ、有限時間収束が維持される。
• τ > 1 を用いた時間スケーリングにより、定常時間は (T_u + T_f)/τ に短縮され、安定性を変更せずに収束を加速する。
• シミュレーションにより、摂動を受ける三重積分チェイン（r = 3）において、すべての初期条件で8.5秒以内に収束し、|z₁|, |z₂|, |z₃| < 1×10⁻⁴ を満たすことが確認された。