[論文レビュー] Stabilization of the cohomology of thickenings

Bhargav Bhatt, Manuel Blickle+3 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、標数0の体上の局所完備交差部分多様体 $X \subset \mathbb{P}^n$ に対して、$X_t = V(I^t)$ の太さを帯びた包摂のベクトルバンドルのコホモロジーが、特異点集合の余次元未満のコホモロジー次数において安定化することを確立する。主な結果は、$k < \operatorname{codim}(\operatorname{Sing} X)$ のとき、すべての $t \gg 0$ に対して自然な制限写像 $H^k(X_{t+1}, \mathcal{O}_{X_{t+1}} \otimes F) \to H^k(X_t, \mathcal{O}_{X_t} \otimes F)$ が同型になることである。これは、正規バンドルの $s$-アンプル性と、余接複体を用いた特異空間におけるKodaira-Akizuki-Nakanoの新バージョンの消失定理に依拠している。

ABSTRACT

For a local complete intersection subvariety $X=V({\mathcal I})$ in ${\mathbb P}^n$ over a field of characteristic zero, we show that, in cohomological degrees smaller than the codimension of the singular locus of $X$, the cohomology of vector bundles on the formal completion of ${\mathbb P}^n$ along $X$ can be effectively computed as the cohomology on any sufficiently high thickening $X_t=V({\mathcal I^t})$; the main ingredient here is a positivity result for the normal bundle of $X$. Furthermore, we show that the Kodaira vanishing theorem holds for all thickenings $X_t$ in the same range of cohomological degrees; this extends the known version of Kodaira vanishing on $X$, and the main new ingredient is a version of the Kodaira-Akizuki-Nakano vanishing theorem for $X$, formulated in terms of the cotangent complex.

研究の動機と目的

• 局所完備交差部分多様体 $X \subset \mathbb{P}^n$ の太さを帯びた包摂 $X_t = V(I^t)$ におけるベクトルバンドルのコホモロジーが $t$ が増加するにつれていつ安定化するかを理解すること。
• 滑らかである場合にハーツホーンが示した安定化結果を特異的で局所完備交差な場合に拡張すること。
• 特異点集合の余次元未満のコホモロジー次数において、包摂 $X_t$ に対してKodairaの消失定理を確立すること。
• 余接複体 $L_X$ を用いて定式化された、特異空間に対するKodaira-Akizuki-Nakanoの消失定理の新バージョンを構築し、応用すること。
• 局所完備交差部分多様体の正規バンドルが $s$-アンプルであること（$s = \dim \operatorname{Sing} X$）を示し、この境界が最良であることを示すこと。

提案手法

• 部分的にアンプル（または $s$-アンプル）なベクトルバンドルの理論を用いて、正規バンドル $N_X$ の対称冪のコホモロジーを制御する。
• 局所完備交差 $X$ に対して、$s = \dim \operatorname{Sing} X$ とすると、正規バンドル $N_X$ が $s$-アンプルであることを、$i > s$ および $t \gg 0$ のとき $H^i(X, \operatorname{Sym}^t(N_X) \otimes \mathcal{F})$ の消失を分析することで証明する。
• Kodaira-Akizuki-Nakanoの消失定理の新バージョンを確立する：$a + b < \operatorname{codim}(\operatorname{Sing} X)$ および $j > 0$ のとき $H^a(X, \wedge^b L_X(-j)) = 0$ が成り立つ。ここで $L_X$ は $X$ の余接複体である。
• $s$-アンプル性の $N_X$ と新消失定理を用いて、$k < \operatorname{codim}(\operatorname{Sing} X)$ および $t \gg 0$ のとき、制限写像 $H^k(X_{t+1}, \mathcal{O}_{X_{t+1}} \otimes F) \to H^k(X_t, \mathcal{O}_{X_t} \otimes F)$ が同型であることを証明する。
• Serreの双対性と、標数0における対称冪と除法冪の同定を用いて、太さを帯びた包摂上のコホモロジーを正規バンドルの対称冪のコホモロジーに関連付ける。
• 具体的な例（例えば、射影的錐、特異多様体との積など）を構成することで、コホモロジー次数の境界および $s$-アンプル性条件が最良であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限写像 $H^k(X_{t+1}, \mathcal{O}_{X_{t+1}} \otimes F) \to H^k(X_t, \mathcal{O}_{X_t} \otimes F)$ が $t \to \infty$ のとき同型になるコホモロジー次数 $k$ はどれか？
• RQ2 局所完備交差部分多様体の特異点集合は、その太さを帯びた包摂上のコホモロジーの安定化にどのように影響するか？
• RQ3 Kodairaの消失定理は、特異多様体の包摂 $X_t$ に拡張可能か？ もしそうなら、どのコホモロジー次数で成立するか？
• RQ4 特異空間に対するKodaira-Akizuki-Nakanoの消失定理の正しい一般化は何か？ そして、余接複体を用いてどのように定式化できるか？
• RQ5 $s$-アンプル性（$s = \dim \operatorname{Sing} X$）は、コホモロジーの安定化に最良の条件か？ そして、これが最良であることを示せるか？

主な発見

• 制限写像 $H^k(X_{t+1}, \mathcal{O}_{X_{t+1}} \otimes F) \to H^k(X_t, \mathcal{O}_{X_t} \otimes F)$ は、$k < \operatorname{codim}(\operatorname{Sing} X)$ のときすべての $t \gg 0$ に対して同型であり、標数0における局所完備交差の包摂に対するコホモロジーの安定化を確立する。
• 局所完備交差部分多様体 $X \subset \mathbb{P}^n$ の正規バンドル $N_X$ は $s$-アンプルであり、$s = \dim \operatorname{Sing} X$ である。すなわち、$i > s$ および $t \gg 0$ のとき $H^i(X, \operatorname{Sym}^t(N_X) \otimes \mathcal{F}) = 0$ である。
• Kodaira-Akizuki-Nakanoの消失定理の新バージョンが成り立つ：$a + b < \operatorname{codim}(\operatorname{Sing} X)$ および $j > 0$ のとき $H^a(X, \wedge^b L_X(-j)) = 0$ が成り立つ。ここで $L_X$ は $X$ の余接複体である。
• 安定化定理における境界 $k < \operatorname{codim}(\operatorname{Sing} X)$ は、$k = \dim X - s$ のとき安定化が失敗する具体的な例によって、最良であることが示されている。
• 正標数では、滑らかな $X$ に対しても安定化は成立しない。これは、標数0の仮定が必要不可欠であることを示している。
• $k > \operatorname{ht}(I) + \dim(\operatorname{Sing} X)$ のとき、$t \gg 0$ に対して、グレード付き局所コホモロジー系における写像 $\operatorname{Ext}^k_R(R/I^t, R)_j \to H^k_I(R)_j$ の単射性が保証され、この境界も最良である。