[論文レビュー] Stable and efficient FEM-BEM coupling with OSRC regularisation for acoustic wave transmission

Elwin van ’t Wout|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Numerical methods in engineering参考文献 75被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、表面放射境界条件（OSRC）正則化とOSRC-ILU予め条件付きを用いた、音響波透過問題に対する安定的で効率的なFEM-BEM結合法を提案する。標準の正則化子に代えてノイマンからディリクレ写像のOSRC近似を用い、FEM部に対して不完全LU分解を組み合わせることで、GMRES反復回数を顕著に削減した。これは、代表的な問題および大規模問題で確認された。周波数に依存せず、共鳴周波数でも安定性を維持する。

ABSTRACT

The finite element method (FEM) and the boundary element method (BEM) can numerically solve the Helmholtz system for acoustic wave propagation. When an object with heterogeneous wave speed or density is embedded in an unbounded exterior medium, the coupled FEM-BEM algorithm promises to combine the strengths of each technique. The FEM handles the heterogeneous regions while the BEM models the homogeneous exterior. Even though standard FEM-BEM algorithms are effective, they do require stabilisation at resonance frequencies. One such approach is to add a regularisation term to the system of equations. This algorithm is stable at all frequencies but also brings higher computational costs. This study proposes a regulariser based on the on-surface radiation conditions (OSRC). The OSRC operators are also used to precondition the boundary integral operators and combined with incomplete LU factorisations for the volumetric weak formulation. The proposed preconditioning strategy improves the convergence of iterative linear solvers significantly, especially at higher frequencies.

研究の動機と目的

• 音響透過問題における共振周波数での標準的FEM-BEMの不安定性を解消する。
• 従来の正則化子を用いた安定化FEM-BEMの高い計算コストを低減する。
• 特に高周波数帯で反復解法（GMRES）の収束性を向上させる。
• BEM用のOSRC作用素とFEM用のILUを組み合わせた周波数に頑健な効率的予め条件付き戦略を開発する。
• 密度や波速が変化する不均質材料を通過する波動伝播の高精度で大規模なシミュレーションを可能にする。

提案手法

• 安定化FEM-BEM系にノイマンからディリクレ写像（NtD）のOSRC近似を正則化子として導入し、全周波数帯で安定性を確保する。
• BEM部の境界積分作用素に対してOSRC作用素を用いた作用素予め条件付きを適用し、条件数の改善を図る。
• FEM部に対して不完全LU（ILU）因子分解を用い、OSRC予め条件付きと組み合わせて体積的線形系の反復解法を高速化する。
• FEMとBEMを同時に解く強い結合形式を採用し、界面結合項を含む単一の行列系として扱う。
• 空間離散化にP1有限要素法を用い、線形系の反復解法にGMRES（収束許容誤差10⁻⁵）を採用する。
• 球体、リングなどの代表的幾何形状および不均質な材料パrameterを持つ大規模な連結リング構造に対して、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 OSRCに基づく正則化は、共鳴周波数を含む全周波数帯でFEM-BEM結合を安定化させ、誤った解を生じさせないか？
• RQ2 OSRC予め条件付きは、特に高周波数帯でGMRESの収束速度を顕著に向上させるか？
• RQ3 標準的予め条件付きと比較して、OSRC-ILU予め条件付き戦略は反復回数と計算コストの点でどのように優れるか？
• RQ4 提案手法は、滑らかだが不連続な材料特性を有する複雑な不均質材料を通過する高周波数波動伝播を高精度にシミュレートできるか？
• RQ5 OSRCで安定化され、予め条件付きされたFEM-BEM法は、大規模3次元音響透過問題においてスケーラビリティと頑健性を示せるか？

主な発見

• OSRC正則化FEM-BEM形式は、標準的正則化子に代えてNtD写像のOSRC近似を用いることで、全周波数帯（共鳴周波数を含む）で安定性を達成した。
• OSRC-ILU予め条件付きにより、不均質密度および波速を持つ6つの連結リングの大規模シミュレーションでGMRES反復回数が1781回にまで削減された。
• 本手法は、滑らかだが不連続な材料パrameterを持つ3次元リング構造を含む多様なテストケースで頑健な性能を示した。
• 計算ベンチマークから、OSRC予め条件付きは標準的形式と比較して収束性が顕著に向上することが確認された、特に高周波数帯で顕著であった。
• OSRC-ILU戦略は、正則化によって生じる悪条件化を効果的に処理し、正則化に起因する追加自由度が導入された場合でも、計算効率を維持した。
• 大規模シミュレーションでは、不均質な内部領域および無限領域を含む全領域で正確な波動場再構成が達成され、本手法の複雑な音響透過問題への適用可能性が検証された。