[論文レビュー] Stable broken H(curl) polynomial extensions and p-robust a posteriori error estimates by broken patchwise equilibration for the curl-curl problem

Théophile Chaumont-Frelet, Alexandre Ern+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、四面体メッシュのエッジパッチ上での分断的H(curl)空間における区分的多項式データの安定的かつ多項式次数に依存しない拡張を確立し、新規の分断的パッチワイズ等衡化技術を用いてcurl-curl問題のp-ロバストな後験的誤差推定を可能にする。主な貢献は、多項式次数に依存しない定数を有する安定性結果であり、これは、グローバルにH(curl)-適合なフラックスを必要としない、効率的で信頼性が高く、局所的に効率的な誤差推定子をもたらす。

ABSTRACT

We study extensions of piecewise polynomial data prescribed in a patch of tetrahedra sharing an edge. We show stability in the sense that the minimizers over piecewise polynomial spaces with prescribed tangential component jumps across faces and prescribed piecewise curl in elements are subordinate in the broken energy norm to the minimizers over the broken H(curl) space with the same prescriptions. Our proofs are constructive and yield constants independent of the polynomial degree. We then detail the application of this result to the a posteriori error analysis of the curl-curl problem discretized with N\\'ed\\'elec finite elements of arbitrary order. The resulting estimators are reliable, locally efficient, polynomial-degree-robust, and inexpensive. They are constructed by a broken patchwise equilibration which, in particular, does not produce a globally H(curl)-conforming flux. The equilibration is only related to edge patches and can be realized without solutions of patch problems by a sweep through tetrahedra around every mesh edge. The error estimates become guaranteed when the regularity pick-up constant is explicitly known. Numerical experiments illustrate the theoretical findings.

研究の動機と目的

• 共通のエッジを共有する四面体のパッチ上での分断的H(curl)空間における区分的多項式データの安定的かつp-ロバストな拡張の構築。
• curl-curl問題の高次Nédélec有限要素離散化におけるp-ロバストな後験的誤差推定の理論的基盤の確立。
• グローバルにH(curl)-適合なフラックスを必要としない、効率的で信頼性が高く、局所的に効率的な誤差推定子の構築。
• 各メッシュエッジの周囲の四面体を局所的にスキャンするアルゴリズムを用いて、グローバルなパッチ問題を回避する実用的な誤差推定の実現。

提案手法

• エッジパッチ上で、分断的Nédélec空間における局所的最小化を用いて、局所的なフラックス再構成を定義することで、分断的パッチワイズ等衡化を構築する。
• 多項式次数pに依存しない定数を有する、分断的H(curl)空間における離散的最良近似誤差の安定性を証明し、連続的最良近似誤差に対して評価する。
• 離散的ポテンシャルを構成する構成的アプローチを用い、所定の回転と面を越えた接線成分のジャンプを満たし、エネルギーノルムが有界であることを保証する。
• 等衡化技術を適用して、正則性取り込み定数が既知である場合に保証される後験的誤差推定子を導出する。
• 各メッシュエッジの周囲の四面体を局所的にスキャンするアルゴリズムを用いて、グローバルな解法を回避して手法を実装する。
• エッジパッチの構造とRaviart–Thomas場の性質を活用して、誤差推定子の局所的効率性と信頼性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四面体メッシュのエッジパッチ上での分断的H(curl)空間において、区分的多項式データの安定的かつp-ロバストな拡張を構築することは可能か？
• RQ2 このような拡張を用いて、高次Nédélec離散化に対して信頼性が高く、局所的に効率的な後験的誤差推定子を導出することは可能か？
• RQ3 グローバルにH(curl)-適合なフラックスを必要とせず、かつグローバルなパッチ問題を解かずにp-ロバストな誤差推定子を構築することは可能か？
• RQ4 正則性取り込み定数は、後験的解析における保証された誤差境界を確保するために果たす役割は何か？
• RQ5 等衡化プロセスは、グローバルな操作を回避して、局所的演算のみを用いて実用的に効率的に実装可能か？

主な発見

• エッジパッチ上での分断的H(curl)空間における離散的最良近似誤差は、多項式次数pに依存しない定数を用いて、連続的最良近似誤差によって上から抑えられる。
• 提案された誤差推定子は信頼性が高く、局所的に効率的であり、p-ロバストである。正則性取り込み定数が明示的に既知である場合、保証された誤差境界が得られる。
• 等衡化プロセスは局所的であり、各メッシュエッジの周囲の四面体をスキャンすることで実装可能であり、グローバルなパッチ問題の解法を回避する。
• 本手法は、離散解の回転と接線成分のジャンプを正確に再現するフラックスを分断的Nédélec空間に構築し、最適な誤差制御を保証する。
• 数値実験により理論的予想が確認され、提案された推定子が多様な多項式次数において有効で、ロバストであることが示された。
• 分断的空間における最小化を用いた離散的ポテンシャルの構築により、安定性とp-ロバスト性が保証され、重要な不等式(1.1)は形状正則性に依存するがpに依存しない定数で成立する。