[論文レビュー] Stable evaluation of Gaussian radial basis functions using Hermite polynomials

Anna Yurova, Katharina Kormann|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2017

Numerical methods in engineering参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、エルミート多項式の母関数を用いて、形状パラメータεが0に近づく際のガウス径路基底関数（RBF）評価の不安定性を解消する、新規なヘルミートGFベースのRBF補間法を提案する。パrameterチューニングを回避し、テンソル積構造を用いることで、数百万点の5次元問題に対しても高い精度とスケーラビリティを達成し、従来のRBF-QR手法に比べて単純さと並列効率性に優れる。

ABSTRACT

Gaussian radial basis functions can be an accurate basis for multivariate interpolation. In practise, high accuracies are often achieved in the flat limit where the interpolation matrix becomes increasingly ill-conditioned. Stable evaluation algorithms have been proposed by Fornberg, Larsson & Flyer based on a Chebyshev expansion of the Gaussian basis and by Fasshauer & McCourt based on a Mercer expansion with Hermite polynomials. In this paper, we propose another stabilization algorithm based on Hermite polynomials but derived from the generating function of Hermite polynomials. The new expansion does not require a complicated choice of parameters and offers a simple extension to high-dimensional tensor grids as well as a generalization for anisotropic multivariate basis functions using the Hagedorn generating function.

研究の動機と目的

• 形状パラメータεが0に近づく際のガウスRBF法における補間行列の悪条件性を解消すること。
• 従来のRBF-QR手法（例えばチェビシェフ-QR や ガウス-QR）の代替として、安定的かつパrameterフリーな手法を開発すること。
• テンソル積構造を用いて、高次元テンソルグリッド上での効率的かつメモリ節約的な計算を可能とすること。
• ハーゲノルト波パッケット理論を用いて、非等方的多次元ガウス関数への一般化を実現すること。
• 大規模な5次元問題を処理可能なスケーラブルでオープンソースの実装を提供すること。

提案手法

• ガウスRBFを、その母関数から導かれるエルミート多項式を用いて展開することで、複雑なパrameter選択を回避する。
• 直接的にヘルミートGF基底に変換することで、補間行列が良好に条件付けられ、逆行列が存在するようになる。
• アルゴリズムはテンソル積構造を用いて多次元補間行列を効率的に表現し、容易に並列化可能な計算を実現する。
• 展開関数の数Mをコロケーション点数Nに等しく設定することで、アルゴリズムの簡素化と安定性の向上を図る。
• ハーゲノルト生成関数を組み込むことで、非等方的RBFへと一般化が可能となり、非等方的形状行列の取り扱いが可能になる。
• MATLABおよびJuliaでの実装が提供されており、Julia版は優れたパフォーマンスとネイティブな並列処理サポートを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成関数に基づくエルミート多項式展開を用いることで、ガウスRBF補間が平坦極限において、繊細なパrameterチューニングを要せず安定化できるか？
• RQ2 チェビシェフ-QR や ガウス-QR といった既存のRBF-QR手法と比較して、ヘルミートGFベースの手法の精度と効率性はいかがなものか？
• RQ3 ヘリミートGF手法のテンソル積構造は、大規模点数を有する高次元問題（例：4次元および5次元）に対してどの程度スケーリング可能か？
• RQ4 ハーゲノルト波パッケット理論を用いて、ヘリミートGFフレームワークを非等方的多次元RBFへ一般化できるか？
• RQ5 現代のHPCクラスタ上でのヘリミートGF-テンソル法の計算パフォーマンスとメモリ効率はどの程度か？

主な発見

• ヘリミートGF法は、ガウス-QR や チェビシェフ-QR と同等の精度を達成するが、パrameter構造が単純で、元の形状パラメータεとドメインサイズパラメータγの2つしか使用しない。
• 本手法はγの正確な値に強く依存せず、手動によるパrameterチューニングの必要性が顕著に低減される。
• 1〜3次元問題（1次元あたり最大35点）では、1プロセッサで1分未満で実行可能であり、低次元における高い効率性を示す。
• 4次元および5次元では、並列処理を活用して効果的なスケーリングが達成され、18^5点（190万点以上）の5次元シミュレーションが、フルクラスタノードでわずか1日未満で完了した。
• Julia版実装により、効率的な並列実行が可能であり、5次元で数百万点を処理可能な唯一の安定したRBF補間手法である。
• テンソルベースの定式化により、補間行列のメモリ節約的表現が保証され、大規模かつ高次元の問題に適した構造となっている。