[論文レビュー] Stable nearly self-similar blowup of the 2D Boussinesq and 3D Euler equations with smooth data I: Analysis

Jiajie Chen, Thomas Y. Hou|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2022

Navier-Stokes equation solutions被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、滑らかな初期データと有限エネルギーを伴う2次元Boussinesque方程式および3次元軸対称Euler方程式における安定なほぼ自己相似的爆発の初の厳密な証明を提示する。重み付き$L^\infty$および$C^{1/2}$ノルムの新規フレームワーク、鋭い関数不等式、および厳密な誤差制御を伴う数値的に構築された近似解を組み合わせることで、近似的自己相似的プロファイルの非線形安定性を確立し、安定な条件下での有限時間内爆発の形成を確認した。

ABSTRACT

Inspired by the numerical evidence of a potential 3D Euler singularity \cite{luo2014potentially,luo2013potentially-2}, we prove finite time blowup of the 2D Boussinesq and 3D axisymmetric Euler equations with smooth initial data of finite energy and boundary. There are several essential difficulties in proving finite time blowup of the 3D Euler equations with smooth initial data. One of the essential difficulties is to control a number of nonlocal terms that do not seem to offer any damping effect. Another essential difficulty is that the strong advection normal to the boundary introduces a large growth factor for the perturbation if we use weighted $L^2$ or $H^k$ estimates. We overcome this difficulty by using a combination of a weighted $L^\infty$ norm and a weighted $C^{1/2}$ norm, and develop sharp functional inequalities using the symmetry properties of the kernels and some techniques from optimal transport. Moreover we decompose the linearized operator into a leading order operator plus a finite rank operator. The leading order operator is designed in such a way that we can obtain sharp stability estimates. The contribution from the finite rank operator to linear stability can be estimated by constructing approximate solutions in space-time. This enables us to establish nonlinear stability of the approximate self-similar profile and prove stable nearly self-similar blowup of the 2D Boussinesq and 3D Euler equations with smooth initial data and boundary.

研究の動機と目的

• 滑らかな初期データと有限エネルギーを伴う2次元Boussinesque方程式および3次元軸対称Euler方程式における有限時間内爆発を厳密に確立すること。
• 従来の$L^2$または$H^k$推定値が妨げられる非局所項および境界付近の強い対流項の課題を克服すること。
• 鋭い関数不等式、エネルギー推定値、および厳密な誤差境界を伴う数値的に構築された近似解を組み合わせた新規な解析的フレームワークを開発すること。
• 近似的自己相似的プロファイルの非線形安定性を証明し、安定なほぼ自己相似的爆発の提示を可能にすること。
• $C^{1,\alpha}$データに基づく先行結果を滑らかな初期データのケースにまで拡張し、3次元Euler特異性理論における主要なギャップを埋めること。

提案手法

• 非局所的および対流的効果が標準的な$L^2$または$H^k$推定値を破壊するのを防ぐために、重み付き$L^\infty$および$C^{1/2}$ノルムを組み合わせて用いる。
• 核の対称性と最適輸送の技術を用いて、渦度強化項における非局所項を管理する鋭い関数不等式を構築する。
• 線形化作用素を、鋭い安定性推定値を持つ主要部と有限ランクの摂動に分解する。
• 有限ランク作用素の線形安定性への寄与を制御するため、厳密な誤差制御を伴う近似的空間時間解を構築する。
• 動的スケーリングを用いて爆発問題を、スケーリングされた方程式における近似的定常状態の安定性問題に変換する。
• 半解析的遠方挙動と数値的に計算されたコンパクトな台を持つ成分を組み合わせて、残差誤差が小さい近似的定常状態を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな初期データと有限エネルギーを伴う2次元Boussinesque方程式および3次元Euler方程式における有限時間内爆発を厳密に証明することは可能か？
• RQ2 非局所項に減衰がない状況で、境界付近の強い対流が引き起こす不安定性は、どのように制御できるか？
• RQ3 初期データの小さな摂動下でも、ほぼ自己相似的爆発プロファイルは安定化可能か？
• RQ4 渦度強化項における非局所的二次非線形項を制御するための解析的フレームワークは何か？
• RQ5 以前の$C^{1,\alpha}$爆発結果を滑らかな初期データのケースにまで拡張することは可能か？

主な発見

• 滑らかな初期データと有限エネルギーを伴う2次元Boussinesque方程式は、動的スケーリング下でほぼ自己相似的爆発を示し、有限時間内に特異性が発生する。
• 軸対称な3次元Euler方程式は、軸方向に奇関数的かつ周期的で、対称軸から離れてコンパクトに台を持つ滑らかな初期データに対して、安定なほぼ自己相似的爆発を示す。
• 重み付き$L^\infty$および$C^{1/2}$ノルムにおける小さな摂動の下でも爆発は安定であり、特異性形成メカニズムの頑健性を確認した。
• 重み付き$L^\infty(\varphi_4)$推定値において、少なくとも$1.5E_*$の安定性係数を達成し、強い非線形安定性を示した。
• 区分的下界による数値的検証により、領域全体で正の安定性係数が得られ、すべての非線形安定性条件が満たされた。
• このフレームワークにより、追加の近似を要せず完全な推定が閉じられ、手法の頑健性とスケーラビリティを示した。