[論文レビュー] Stable orbit equivalence of Bernoulli actions of free groups and isomorphism of some of their factor actions

Niels Meesschaert, Sven Raum+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、自由群のベルヌーイ作用に関するリチャード・ルイス・ボーウンの安定的軌道同値定理について、初等的で自明な証明を提供する。この証明により、任意の二つの自由群のベルヌーイ作用が、圧縮定数 $(n-1)/(m-1)$ を持つ安定的軌道同値であることが示される。さらに、無限大アーメン群 $Λ_1 * \cdots * \u039b_n$ の自由積 $Γ$ に対して、任意のコンパクトな第二可算群 $K$ に対して、因子作用 $Γ \curvearrowright K^\u0393 / K$ がベルヌーイ作用と同型であることが示され、このクラスの群に対しては、そのような作用が非同型の $K$ に対して軌道同値でないという予想が否定的に解決される。

ABSTRACT

We give an elementary proof for Lewis Bowen's theorem saying that two Bernoulli actions of two free groups, each having arbitrary base probability spaces, are stably orbit equivalent. Our methods also show that for all compact groups K and every free product \\Gamma of n infinite amenable groups, the factor K^{\\Gamma}/K of the Bernoulli action of \\Gamma on K^{\\Gamma} by the diagonal action of K, is isomorphic with a Bernoulli action of \\Gamma.

研究の動機と目的

• リチャード・ルイス・ボーウンの自由群のベルヌーイ作用に関する安定的軌道同値定理の、初等的かつ自明な証明を提供すること。
• 無限大アーメン群の自由積 $\Gamma$ に対して、因子作用 $\Gamma \curvearrowright K^\Gamma / K$ が $\Gamma$ のベルヌーイ作用と同型であることを示し、非同型の $K$ に対してそのような作用が軌道同値でないという予想を反証すること。
• ベルヌーイ型作用の因子作用がいつベルヌーイ作用と同型になるかという条件を明確にし、同型と軌道同値の観点から群作用の分類に貢献すること。

提案手法

• 自由群 $\mathbb{F}_n$ と $\mathbb{F}_m$ の両方が同じ空間に作用するように構成し、それらの軌道が一致し、ベルヌーイ作用の抽象的特徴付けを満たすようにする。安定的軌道同値の明示的公式の構成を避ける。
• 自由群の有界語長を持つ群元のインデックスをもつ確率変数の独立性に基づく組合せ的かつ確率的議論を用いる。
• 適切に選ばれた写像族 $\omega_{i,\varepsilon,g}$ を $K^{\mathcal{I}_k} \times K^{\mathcal{I}_{k+1} \setminus \mathcal{I}_k}$ に適用し、Lemma 4 を用いて、ある座標差が独立であり、零集合を除いて全 $\sigma$-代数を生成することを示す。
• アーメン群の自由積の構造を活用し、語長と独立性の性質に基づいて、帰納的推論を用いて、$\mathbb{F}_n$ から一般の $\Gamma = \Lambda_1 * \cdots * \Lambda_n$ への同型結果を拡張する。
• コンパクト群の本質的に自由作用に関するフォークロア補題を用い、$G \times Y_0 \to X_0$ となるボレル同型写像 $\theta$ を構成し、同変性と測度保存性を満たすことで、因子空間をベルヌーイシフトと特定可能にする。
• $g$ が長さ $k$ の語であるとき、$i=1,\dots,n$、$\varepsilon=\pm1$ に対して、$x \mapsto x_g^{-1} x_{a_i^\varepsilon g}$ で定義される確率変数の族が、$K^{\mathbb{F}_n}/K$ の全 $\sigma$-代数を零集合を除いて生成する独立な確率変数族であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる自由群 $\mathbb{F}_n$ と $\mathbb{F}_m$ のベルヌーイ作用は、安定的軌道同値であるか？ もしそうならば、圧縮定数は何か？
• RQ2 無限大アーメン群の自由積 $\Gamma = \Lambda_1 * \cdots * \Lambda_n$ に対して、因子作用 $\Gamma \curvearrowright K^\Gamma / K$ は $\Gamma$ のベルヌーイ作用と同型であるか？
• RQ3 非同型のコンパクト群 $K$ に対して、作用 $\Gamma \curvearrowright K^\Gamma / K$ は非軌道同値であるという予想は、$\Gamma = \mathbb{F}_n$ に対して成り立つか？
• RQ4 明示的公式の構成を避け、構造的性質と独立性の議論を用いて、自由群のベルヌーイ作用間の安定的軌道同値性を証明できるか？
• RQ5 どの可算群 $\Gamma$ に対して、すべてのコンパクト第二可算群 $K$ に対して $\Gamma \curvearrowright K^\Gamma / K$ がベルヌーイ作用と同型になるか？

主な発見

• 本稿は、ボーウンの安定的軌道同値定理について、新たな初等的証明を提供し、$\mathbb{F}_n$ と $\mathbb{F}_m$ のベルヌーイ作用が圧縮定数 $(n-1)/(m-1)$ を持つ安定的軌道同値であることを示している。
• 任意の無限大アーメン群の自由積 $\Gamma = \Lambda_1 * \cdots * \Lambda_n$ に対して、任意のコンパクト第二可算群 $K$ に対して、因子作用 $\Gamma \curvearrowright K^\Gamma / K$ が $\Gamma$ のベルヌーイ作用と同型であることが示され、非同型の $K$ に対して軌道同値でないという予想が否定的に解決された。
• $g$ が語長 $k$ であるとき、$i=1,\dots,n$、$\varepsilon=\pm1$ に対して、$x \mapsto x_g^{-1} x_{a_i^\varepsilon g}$ で定義される確率変数の族は、$K^{\mathbb{F}_n}/K$ の全 $\sigma$-代数を零集合を除いて生成する独立な確率変数族を形成する。
• 証明により、$\Gamma$ が無限大アーメン群の自由積である場合でも、$\Gamma \curvearrowright K^\Gamma / K$ がベルヌーイ作用と同型であることが示され、$\Gamma = \mathbb{F}_2$ および $K = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の場合の既存結果が拡張された。
• $\Gamma \curvearrowright K^\Gamma / K$ がベルヌーイ作用と同型であるような群のクラス $\mathcal{G}$ は自由積について閉じており、すべての無限大アーメン群を含む。
• この結果は、$\mathcal{G}$ が相対的性質 (T) を持つ無限大正規部分群を含む群を含まず、無限大群と非アーメン群の直積である群も含まないことを示し、剛性と柔軟性の明確な対比を示している。