[論文レビュー] Stacks of quantization-deformation modules on complex symplectic manifolds

Pietro Polesello, Pierre Schapira|arXiv (Cornell University)|May 12, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、複素シンプレクティック多様体上の量子化歪みモジュールのスタックを、幾何学的変形量子化のアプローチを用いて構成する。遷移関数に関連するČechコycleがシンプレクティック形式 ω のde Rham類に対応することを確立し、余接バンドル上の標準1形式および接触同型を介して、モジュールスタックの構造を基礎となるシンプレクティック位相に結びつける。

ABSTRACT

On a complex symplectic manifold, we construct the stack of quantization-deformation modules, that is, (twisted) modules of microdifferential operators with an extra central parameter, a substitute to the lack of homogeneity. We also quantize involutive submanifolds of contact manifolds.

研究の動機と目的

• 複素シンプレクティック多様体上の量子化歪みモジュールのための整合的フレームワークを構築すること。
• 開被覆上の局所データを通じて、これらのモジュールの幾何学的およびコhomological構造を理解すること。
• モジュールスタックの遷移データをシンプレクティック形式 ω のde Rhamコhomology類に関連付けること。
• 余接バンドル上の標準1形式を介して、モジュールスタックのČechコycleとシンプレクティック類 [ω] の明確な対応関係を確立すること。

提案手法

• 複素シンプレクティック多様体 X の開被覆 {Ui} を用いて局所的自明化を定義する。
• 各余接バンドル T∗Xi に存在する標準1形式 αT∗Xi を用い、局所的にシンプレクティック形式 ω を d(φ∗iαT∗Xi) の形で表現する。
• 重なり領域 Uij において、関数 aij を導入し、(φ∗jαT∗Xj)|Uij = (φ∗iαT∗Xi)|Uij + d aij を満たす遷移関数 aij を定義する。
• 接触構造に基づく幾何的遷移同型 ψij を、補題 LABEL:lemma:geomconttrans を用いて導入する。
• de Rham同型を介して、シンプレクティック類 [ω] を符号化するČechコycleデータを用いてモジュールスタックを構成する。
• de Rham同型に依存し、遷移コycleのコhomology類が [ω] に一致することを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的幾何的データを用いて、複素シンプレクティック多様体上に量子化歪みモジュールを一貫してスタックすることは可能か？
• RQ2 これらのモジュールのスタックにおける遷移コycleのコhomological意義は何か？
• RQ3 余接バンドル上の標準1形式は、シンプレクティック形式およびその局所的表現とどのように関係するか？
• RQ4 接触同型 ψij は、関数 aij に依存することで、どの程度シンプレクティック構造を符号化するか？
• RQ5 スタックのČechコycleは、シンプレクティック形式のde Rham類 [ω] と特定できるか？

主な発見

• 量子化歪みモジュールのスタックに関連するČechコycle (aij) は、シンプレクティック形式 ω のde Rhamコhomology類 [ω] を表す。
• 重なり領域 Ui における局所的シンプレクティック形式 ω|Ui は、T∗Xi 上の標準1形式の引き戻しの外微分として表現される。
• 重なり領域 Uij において、引き戻し1形式の遷移は d aij によって支配され、局所データとグローバルコhomologyを結びつける。
• 接触同型 ψij は関数 aij および幾何的遷移補題により明示的に決定される。
• スタックの構造は、シンプレクティック類 [ω] によって完全に決定され、明確なコhomological対応関係が確立される。
• Čechコhomologyを介して、変形量子化モジュールと基礎となるシンプレクティック位相との間に、自然なリンクが実現される。