[論文レビュー] Stanley-Reisner rings for symmetric simplicial complexes, G-semimatroids and Abelian arrangements

Alessio D’Alì, Emanuele Delucchi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 48被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限長の単体的順序集合に群作用を導入することで、スターリング＝ライスナー環理論を対称的単体的複体およびG-半マトロイドへ拡張する。可移的群作用の下での不変式環が商順序集合のスターリング＝ライスナー環に同型であることを証明し、特性 0 およびある明示的に計算可能な不変量 δ を割り切らないすべての特性において、商がコhen–マカウレーであるための条件を確立する。これらの結果は、トーリック、楕円的、および (p,q)-配列を含むアーベル的配列に適用可能であり、その h-多項式およびベッチ数は群作用の Tutte 多項式によって定まる。

ABSTRACT

We extend the notion of face rings of simplicial complexes and simplicial posets to the case of finite-length (possibly infinite) simplicial posets with a group action. The action on the complex induces an action on the face ring, and we prove that the ring of invariants is isomorphic to the face ring of the quotient simplicial poset under a mild condition on the group action. We also identify a class of actions on simplicial complexes that preserve the homotopical Cohen-Macaulay property under quotients. 
 
 When the acted-upon poset is the independence complex of a semimatroid, the h-polynomial of the ring of invariants can be read off the Tutte polynomial of the associated group action. Moreover, in this case an additional condition on the action ensures that the quotient poset is Cohen--Macaulay in characteristic 0 and every characteristic that does not divide an explicitly computable number. This implies the same property for the associated Stanley--Reisner rings. In particular, this holds for independence posets and rings associated to toric, elliptic and, more generally, (p,q)-arrangements. 
 
 As a byproduct, we prove that posets of connected components (also known as posets of layers) of such arrangements are Cohen-Macaulay with the same condition on the characteristic.

研究の動機と目的

• 有限長の単体的順序集合に群作用を導入することで、スターリング＝ライスナー環理論を一般化し、特に順序集合と群が無限である場合を含む。
• 商順序集合が単体的であり、かつ不変式環が商順序集合のスターリング＝ライスナー環に同型となるような群作用を特徴付ける。
• 商順序集合および関連するスターリング＝ライスナー環が特性 0 およびある整数 δ を割り切らないすべての特性においてコhen–マカウレーであるための条件を特定する。
• トーリック、楕円的、および (p,q)-配列を含むアーベル的配列に理論を応用し、それらの位相的・代数的不変量と群作用の Tutte 多項式を関連付ける。

提案手法

• 有限長の単体的順序集合 P に対して R(P) を定義することで、スターリング＝ライスナー環の一般化を導入する。
• 単体的順序集合への可移的群作用を定義し、このような作用が商順序集合 P/G の単体的構造を保つことを証明する。
• 可移的作用の下で、不変式環 R(P)^G とスターリング＝ライスナー環 R(P/G) の間に同型が存在することを確立する。
• 「精錬された」作用（可移性よりも強い）の概念を導入し、このような作用の下で、商順序集合が特性 0 および δ を割り切らないすべての特性においてコhen–マカウレーであることを証明する。
• Bredon の補題を用いて特性の制限を導出し、商環の h-多項式と群作用の Tutte 多項式を関連付ける。
• (p,q)-配列にこの枠組みを適用する際、それを普遍被覆上の周期的配列に持ち上げ、層の順序集合が幾何的半ラティスであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用の下での単体的順序集合の商が再び単体的順序集合であるための条件は何か？
• RQ2 スターリング＝ライスナー環の群作用による不変式環が、商順序集合のスターリング＝ライスナー環に同型であるための条件は何か？
• RQ3 商順序集合およびその関連スターリング＝ライスナー環が特性 0 および与えられた整数 δ を割り切らないすべての特性においてコhen–マカウレーであるための条件は何か？
• RQ4 商環の h-多項式およびベッチ数は、群作用の Tutte 多項式とどのように関係しているか？
• RQ5 これらの結果は、トーリック、楕円的、および (p,q)-配列を含むアーベル的配列へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 任意の可移的群作用に対して、有限長の単体的順序集合 P について、不変式環 R(P)^G は R(P/G) に同型である。
• 作用が分離可能で群がアーベルである場合、商順序集合 P/G はホモトピー的コhen–マカウレーである。
• 半マトロイドに精錬された作用を施した場合、商順序集合 P/G は特性 0 および δ を割り切らないすべての特性においてコhen–マカウレーであり、δ は明示的に計算可能な整数である。
• R(P/G) の h-多項式は、作用の Tutte 多項式を評価することで得られ、これは補題 8.8.(i) で示されている。
• 任意のアーベル的配列 A の層の順序集合 C(A) は、特性 0 および δSA を割り切らないすべての特性においてコhen–マカウレーであり、δSA は作用から計算可能である。
• (p,q)-配列 A に対して、スターリング＝ライスナー環 R(A) は周期的配列 A^æ の不変式環に同型であり、その h-多項式は作用の Tutte 多項式によって決定される。