[論文レビュー] Star Product Reduction for Coisotropic Submanifolds of Codimension 1

Peter Gloessner|ArXiv.org|May 11, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、位相空間内の余次元1のコイシトロピック部分多様体におけるスター積の構成的還元手続きを提案する。これは対称性や群作用を要件としない。単一の制約関数を用いて、還元されたスター積を明示的に計算し、同じ部分多様体を記述する異なる制約関数が非同値な還元スター積をもたらすことを示し、還元の結果が制約関数の選択に依存することを強調する。

ABSTRACT

We propose a reduction procedure that leads to a reduced star product on the reduced phase space of a `First Class'-constrained system, where no symmetries, group actions or the like are present. For the case that the coisotropic submanifold has codimension 1, we establish a constructive method to compute the reduced star product explicitly. Concluding examples show that this method depends crucially on the constraint function singled out to describe the constrained submanifold and not only on this submanifold itself, and that two different constraint functions for the same constraint submanifold will generally result in not only different but inequivalent reduced star products.

研究の動機と目的

• 群作用や対称性を要件としない余次元1のコイシトロピック部分多様体におけるスター積の還元手続きを開発すること。
• 制約された位相空間上での還元スター積を明示的に計算する手法を確立すること。
• 制約関数の選択が得られる還元スター積に与える影響を調査すること。
• 同じ部分多様体を記述する異なる制約関数から非同値なスター積が生じることを示すこと。
• 制約関数のみを用いて、第一級制約系におけるスター積還元のフレームワークを提供すること。

提案手法

• この手法は、余次元1のコイシトロピック部分多様体を定義する制約関数から直接的に還元スター積を構成する。
• 形式的変形量子化のアプローチを用いて、還元空間上のスター積を導出する。
• 対称性群や運動量写像の条件を要件としない。
• この手続きは、部分多様体そのものではなく、特定の制約関数の選択に依存する。
• 変形パラメータの次数までにわたるスター積の係数を決定するための再帰的方程式系を解く。
• 構成は明示的かつアルゴリズム的であり、還元スター積の段階的計算が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群の対称性や運動量写像を用いずに、余次元1のコイシトロピック部分多様体におけるスター積をどのように還元できるか。
• RQ2 制約関数を用いて、還元スター積の明示的形はどのように表されるか。
• RQ3 同じ部分多様体を記述する際、制約関数の選択が還元スター積に影響を与えるか。
• RQ4 同じコイシトロピック部分多様体に対して、異なる制約関数から非同値なスター積が生じ得るか。
• RQ5 制約関数が還元スター積の代数的構造を決定する役割を果たすか。

主な発見

• 還元スター積は、コイシトロピック部分多様体を定義する具体的な制約関数に強く依存しており、部分多様体そのものに依存するのではなく、制約関数の選択に依存する。
• 同じコイシトロピック部分多様体を記述する異なる制約関数は、一般に非同値な還元スター積をもたらす。
• この還元手続きは構成的であり、余次元1のコイシトロピック部分多様体に対して明示的に計算可能である。
• この手法は、任意の対称性や群作用を要件としないため、一般の第一級制約系に適用可能である。
• この手続きは、制約関数の選択と還元空間上の変形量子化の結果との直接的な関連を確立する。
• 結果として、還元が一意的ではなく、制約曲面のパrametrizationに敏感であることが示された。