[論文レビュー] Star-shaped Risk Measures

Erio Castagnoli, Giacomo Cattelan+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、正のスーパー同次性を満たす、すなわち共形リスク測度と凸リスク測度を一般化する、星型リスク測度を導入し、その特徴を明らかにする。主な貢献は、液性リスク、競争的代理人委任、ロバスト集約の文脈において、星型性がリスク管理行動の本質を捉え、金融的直観を保ちつつ、実務でよく使われるリスク測度（VaR や期待ショートフォールドを含む）を包含するという点にあり、それらはすべて星型リスク測度の特殊な場合である。

ABSTRACT

In this paper monetary risk measures that are positively superhomogeneous, called star-shaped risk measures, are characterized and their properties studied. The measures in this class, which arise when the controversial subadditivity property of coherent risk measures is dispensed with and positive homogeneity is weakened, include all practically used risk measures, in particular, both convex risk measures and Value-at-Risk. From a financial viewpoint, our relaxation of convexity is necessary to quantify the capital requirements for risk exposure in the presence of liquidity risk, competitive delegation, or robust aggregation mechanisms. From a decision theoretical perspective, star-shaped risk measures emerge from variational preferences when risk mitigation strategies can be adopted by a rational decision maker.

研究の動機と目的

• 共形リスク測度における劣加法性および正同次性の緩和として、正のスーパー同次性を満たすリスク測度（「星型」と呼ばれる）を形式化し、研究すること。
• 星型リスク測度が液性リスク、競争的代理人委任、ロバスト集約メカニズムを含む文脈において自然に生じることを示すこと。
• 星型リスク測度と変動的好みの間の関係を確立し、合理的なリスク低減戦略からその出現を示すこと。
• 星型リスク測度が、実務でよく使われるすべてのリスク測度（VaR や期待ショートフォールドを含む）を含みつつ、凸リスク測度や共形リスク測度よりも一般化されていることを示すこと。
• 値危険性と星型関数集合のインフィミズ・コンボリューションによる星型リスク測度の表現定理を提供し、その金融的および数学的整合性を保証すること。

提案手法

• すべての $\lambda > 1$ に対して $\rho(\lambda X) \geq \lambda \rho(X)$ を満たす条件により、星型リスク測度を定義し、これは縮小がリスクを比例以上に低減することを捉える。
• 星型集合の幾何的性質を用いて、受容集合（資本費用が不要なポジションの集合）の星型性と星型リスク測度の等価性を確立する。
• 関数集合 $\mathcal{G}$ が星型であるとき、$\rho(X) = \inf_{g \in \mathcal{G}} \sup_{\alpha \in (0,1)} \{ \mathrm{VaR}_\alpha(X) - g(\alpha) \}$ の表現を用いて、星型リスク測度を構成・特徴付ける。
• すべての法則不変で単調かつ平行移動不変なリスク測度が $\mathrm{VaR}_\alpha$ を支配するならば、$\mathrm{ES}_\alpha$ も支配する、という支配結果を $\mathcal{SSD}$-整合性のもとで確立する。
• Liu, Wang, and Wei (2020) が開発したインフィミズ・コンボリューション技術を活用し、関数集合 $\mathcal{G}$ が星型である限り、星型リスク測度のインフィミズ・コンボリューションも、適切な条件下で有効な星型リスク測度のままであることを示す。
• ジェンセンの不等式と尾イベントの構成を用いて、$\mathcal{SSD}$-整合性のもとで $\rho \geq \mathrm{ES}_\alpha$ を証明し、フレームワークのロバスト性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 金融機関における液性リスクと集中度の影響をよりよく反映するため、リスク測度をどのように一般化できるか？
• RQ2 劣加法性を仮定しない状況でも、縮小によるリスク低減の経済的直観を捉えるために必要な最小限の公理は何か？
• RQ3 どのような意思決定理論的枠組みにおいて、星型リスク測度が自然に最適選択として出現するか？
• RQ4 星型リスク測度は、値危険性と星型関数集合のインフィミズ・コンボリューションによって表現可能か？ その結果、規制資本計算にどのような意味があるか？
• RQ5 ストキャスティック支配の観点から、星型リスク測度は、VaR や期待ショートフォールドといった既存のリスク測度と、支配関係や整合性の観点でどのように関係しているか？

主な発見

• 星型リスク測度は、すべての $\lambda > 1$ に対して $\rho(\lambda X) \geq \lambda \rho(X)$ を満たし、これは縮小がリスクを比例以上に低減することを経済的直観として捉えている。
• 星型リスク測度の受容集合は星型集合であるため、受容可能なポジションの露出を減らしても、そのポジションが受容不能になることはない。
• すべての凸リスク測度およびすべての正同次リスク測度（VaR や期待ショートフォールドを含む）は、星型リスク測度の特殊な場合である。
• $\mathcal{SSD}$-整合性のもとで、$\mathrm{VaR}_\alpha$ を支配する任意のリスク測度は、$\mathrm{ES}_\alpha$ も支配する。これは、期待ショートフォールドの役割を強化する支配結果を示している。
• 関数集合 $\mathcal{G}$ が星型であるとき、$\rho(X) = \inf_{g \in \mathcal{G}} \sup_{\alpha \in (0,1)} \{ \mathrm{VaR}_\alpha(X) - g(\alpha) \}$ の表現が星型リスク測度に成立し、構成的特徴付けが可能である。
• 関数集合 $\mathcal{G}$ が星型である限り、星型リスク測度のインフィミズ・コンボリューションは、依然として有効な星型リスク測度のままであり、集約において構造が保たれる。