[論文レビュー] Starshaped compact hypersurfaces with prescirbed Weingarten curvature in warped product manifolds

Daguang Chen, Haizhong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、重なり合う積分多様体 $ \bar{M} = I \times_h M $ における星型コンpact超曲面について、Weingarten曲率の $ k $-番目の初等対称関数 $ \rho_k(\nu) = \text{tr}(\text{sym}_k(\text{II})) $ が所与のものであるという条件下で、グローバルな $ C^2 $ 評価と存在定理を確立する。Guan ら [28, 42] の手法を一般化することで、右辺関数 $ \rho_k = \rho_k(\nu) $ に条件を課したもとで $ k=2 $ および $ k=n-1 $ の曲率評価と存在性を証明し、ユークリッド空間からの結果を一般の重なり合う積分構造へ拡張する。

ABSTRACT

Given a compact Riemannian manifold $M$, we consider a warped product $\bar M = I imes_h M$ where $I$ is an open interval in $\Bbb R$. For a positive function $ψ$ defined on $\bar M$, we generalized the arguments in \cite{GRW2015} and \cite{RW16}, to obtain the curvature estimates for Hessian equations $σ_k(κ)=ψ(V,ν(V))$. We also obtain some existence results for the starshaped compact hypersurface $Σ$ satisfying the above equation with various assumptions.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間から重なり合う積分多様体への所与のWeingarten曲率問題における $ C^2 $ 曲率評価および存在定理の拡張を図ること。
• 重なり合う積分空間 $ \bar{M} = I \times_h M $ において、$ \rho_k(\nu) = \text{tr}(\text{sym}_k(\text{II})) = \rho_k(V, \nu(V)) $ を満たす星型コンパクト超曲面の存在を確立すること。
• Guan ら [28] および [42] のテスト関数および定秩定理の技法を、非ユークリッド的構造である重なり合う積分多様体の設定に一般化すること。
• 関数 $ \rho_k $ に関する条件（単調性およびモデル曲率との比較）を満たす場合に、曲率評価が成立することを検証すること。
• ホモトピーを用いた次数論的証明により存在性を示し、モデル解から所望の曲率方程式へと滑らかに変形する。

提案手法

• Guan ら [28] の $ C^2 $ 曲率評価フレームワークを、計量 $ dt^2 + h^2(t)g' $ を持つ重なり合う積分多様体 $ \bar{M} = I \times_h M $ に一般化する。
• 重なり合う構造に適合した、$ \rho_k $ と法ベクトル場 $ \nu $ を含む新しいテスト関数を導入し、2階微分を制御する。
• ホモトピー・フローに沿って厳密な凸性を保つために、命題 7.1 の形での定秩定理を適用する。
• ホモトピー法を用いる：$ \rho_k^s = \big(s \rho_k^{-1/k} + (1-s)\bar{\rho}_k^{-1/k}\big)^{-k} $ と定義し、$ \bar{\rho}_k $ をモデル曲率関数とする。
• 関数 $ \rho_k $ に以下の条件を課す：$ t \to t_- $ のとき $ \rho_k > C_n^k \rho_k^{\text{model}} $、$ t \to t_+ $ のとき $ \rho_k < C_n^k \rho_k^{\text{model}} $、および $ \frac{d}{dt}(h^k \rho_k) \neq 0 $。これにより境界での適切な振る舞いが保証される。
• アービタント空間の構造および $ h(t) $、$ h'(t) > 0 $、およびモデル曲率 $ \rho_k^{\text{model}} = h'(t)/h(t) $ の振る舞いに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間における $ k $-曲率超曲面の $ C^2 $ 曲率評価および存在定理を、重なり合う積分多様体へ拡張することは可能か？
• RQ2 重なり合う多様体 $ \bar{M} = I \times_h M $ における星型超曲面に対して、曲率関数 $ \rho_k(V, \nu) $ にどのような条件を課すと、グローバルな $ C^2 $ 評価と存在性が保証されるか？
• RQ3 Guan ら [28] のテスト関数および定秩定理の技法を、重なり合う積分多様体の非定曲率設定にどのように適応できるか？
• RQ4 $ h(t) $ および $ \rho_k $ にどのような条件下で、ホモトピー法が $ \rho_k(\nu) = \rho_k(V, \nu) $ の解を導くことができるか？ ただし、$ \rho_k $ は単調性および比較条件を満たすものとする。
• RQ5 一般の重なり合う積分多様体において、$ k=2 $ および $ k=n-1 $ の場合に、アービタント空間が空間形式ではない場合でも存在結果が成立するか？

主な発見

• 重なり合う積分多様体 $ \bar{M} = I \times_h M $（$ h' > 0 $）における星型コンパクト超曲面について、$ \rho_k $ に関する条件の下でグローバルな $ C^2 $ 評価が確立された。
• $ k=2 $ および $ k=n-1 $ の場合、関数 $ z: M \to I $ が一意に存在し、そのグラフ $ \theta(u) = (z(u), u) $ が $ \rho_k(\nu) = \rho_k(V, \nu(V)) $ を満たすことが証明された。この超曲面 $ \theta(M) $ は $ \bar{M}_{-}^{+} $ の内部に含まれる。
• 存在結果は、モデル解 $ \bar{\rho}_k $ から目標の $ \rho_k $ へのホモトピーに依存しており、$ \rho_k $ が $ t \to t_- $ のとき $ \rho_k > C_n^k \rho_k^{\text{model}} $、$ t \to t_+ $ のとき $ \rho_k < C_n^k \rho_k^{\text{model}} $、および $ \frac{d}{dt}(h^k \rho_k) \neq 0 $ を満たすことが条件となる。
• 曲率評価は、修正されたテスト関数と定秩定理を用いて導出され、鍵となるステップは $ (\bar{\rho}_k^{-1/k})_{,ij} + \bar{\rho}_k^{-1/k} \bar{g}_{ij} \rho_k $ 型の不等式の検証である。
• 単位球面の場合、$ \rho_k^{\text{model}} = \text{const} \times \frac{h'}{h} $ のもとで $ \rho_k^{-1/k} $ が凸であることが示され、$ \rho_k' < 0 $ および $ \rho_k \rho_k'' > \frac{k-1}{k} (\rho_k')^2 $ を満たす場合に必要な不等式が成立する。
• この手法は $ k=2 $ および $ k=n-1 $ に対して堅牢であり、所定の条件下で一般の重なり合う積分多様体へ拡張可能であるが、双曲空間では適切な初期族が見つからない限り定秩定理は成立しない。